Можете, пожалуйста, помочь мне с процессом решения данного выражения: 2√2 sin 11п/8 cos 11п/8

Конечно! Давайте решим задачу поэтапно.

1. Начнем с выражения \(2 \sqrt{2} \sin \left(\frac{11\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{11\pi}{8}\right)\).

2. Первым шагом разложим синус и косинус угла \( \frac{11\pi}{8} \).

3. Вспомним формулы половинного угла для синуса и косинуса:

\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{2}}
\]

\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}
\]

4. Применим эти формулы к нашему углу:

\[
\sin\left(\frac{11\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)}{2}}
\]

\[
\cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)}{2}}
\]

5. Теперь нам нужно вычислить \(\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)\).

6. Угол \(\frac{11\pi}{4}\) равен \( \frac{8\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} \), что равносильно \(2\pi + \frac{3\pi}{4}\).

7. Используя периодичность косинуса, заменим угол \(\frac{11\pi}{4}\) на \(\frac{3\pi}{4}\):

\[
\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)
\]

8. Значение косинуса угла \(\frac{3\pi}{4}\) известно и равно \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

9. Подставим это значение обратно в наше исходное выражение:

\[
2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}}
\]

10. Продолжим упрощение:

\[
2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}
\]

11. Соединим дроби внутри корня:

\[
2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}
\]

12. Упростим выражение внутри корня:

\[
2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{2}{4}}{2}}
\]

\[
2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{4}}{2}}
\]

\[
2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}
\]

\[
2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}
\]

13. Выполняем умножение:

\[
\sqrt{2}
\]

Таким образом, решение данного выражения равно \(\sqrt{2}\).