MK - це бісектриса прямокутного трикутника MPC з кутом C рівним 90° і кутом CMP рівним 60°. Знайдіть довжину катету

Давайте решим задачу пошагово.

1. Перший крок - скористатися властивістю бісектриси прямокутного трикутника. Бісектриса ділить протилежний катет навпіл і утворює дві частини, які мають однакову довжину. Тобто, довжина KM буде дорівнювати половині довжини MC.

Дано, що MK - це бісектриса трикутника MPC, а кут CMP рівний 60°. Так як MK ділить кут CMP навпіл, отримуємо, що кут PMK рівний 30° (60° / 2).

2. Другий крок - скористатися тригонометричним співвідношенням для визначення довжини катету CP. Ми знаємо довжину гіпотенузи CK, тому можемо використовувати тригонометричний тангенс.

Тригонометричний тангенс кута рівний відношенню протилежного катету до прилеглого катету.

В нашому випадку, прилеглий катет - це KP, а протилежний - це MP. За дуже MP - це половина MC (як ми встановили у першому кроці).

Таким чином, ми можемо записати рівняння:

\(\tan 30° = \frac{MP}{KP}\)

3. Третій крок - знаходження значення тангенсу 30°. Ми можемо скористатися таблицею тригонометричних значень або калькулятором. Значення тангенсу 30° рівне \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

4. Четвертий крок - підставлення значення тангенсу в рівняння та розв"язання його. Отримаємо:

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{MP}{KP}\)

Для виразу \(KP\) використаємо факт, що \(KP = CK - CP\), де CK - відома величина (3 дм).

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{MP}{3 - CP}\)

5. П"ятий крок - розв"язання рівняння для знаходження значення CP. Перенесемо \(MP\) на один бік рівняння:

\(MP = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (3 - CP)\)

Ми знаємо, що \(MP = \frac{1}{2} \cdot MC\). Замінюємо \(MP\) на \(\frac{1}{2} \cdot MC\):

\(\frac{1}{2} \cdot MC = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (3 - CP)\)

6. Шостий крок - підставляємо вирази для \(MC\) та \(CK\) в рівняння:

\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{CK^2 - KP^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (3 - CP)\)

\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3^2 - CP^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (3 - CP)\)

7. Сьомий крок - множимо обидві частини рівняння на \(\sqrt{3}\), щоб позбутися від знаменника:

\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3^2 - CP^2} = (3 - CP)\)

\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{9 - CP^2} = 3 - CP\)

8. Восьмий крок - множимо обидві частини рівняння на 2 для позбавлення від дробу:

\(\sqrt{9 - CP^2} = 6 - 2CP\)

9. Дев"ятий крок - підносимо обидві частини рівняння до квадрату для зручності обчислення:

\((\sqrt{9 - CP^2})^2 = (6 - 2CP)^2\)

\(9 - CP^2 = 36 - 24CP + 4CP^2\)

10. Десятий крок - збираємо всі члени з \(CP^2\) на одному боці рівняння, а решту членів на іншому:

\(5CP^2 - 24CP + 27 = 0\)

11. Одинадцятий крок - це розв"язання квадратного рівняння. Можемо використовувати квадратну формулу для знаходження коренів:

\(CP = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4\cdot 5 \cdot 27}}{2\cdot 5}\)

\(CP = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 540}}{10}\)

\(CP = \frac{24 \pm \sqrt{36}}{10}\)

\(CP = \frac{24 \pm 6}{10}\)

12. Дванадцятий крок - обчислюємо значення CP, виконуючи розрахунків:

\(CP_1 = \frac{24 + 6}{10} = \frac{30}{10} = 3\)

\(CP_2 = \frac{24 - 6}{10} = \frac{18}{10} = 1.8\)

Таким чином, отримуємо два можливих значення для довжини катету CP: 3 дм і 1.8 дм.