Линзаның оптикалық күші 5 дптр болғанда, алынған бейнелік кескіннің биіктігі берілген кескіннің биіктігінен 2 есе үлкен

Для решения этой задачи нам необходимо использовать уравнение тонкой линзы:

\(\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\),

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(n\) - показатель преломления среды линзы, \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы кривизны поверхностей линзы.

Дано, что оптическая сила линзы равна 5 дптр, что в СИ эквивалентно \(5 \, \text{дптр} = 5 \, \text{м}^{-1}\). Оптическая сила линзы определяется как обратное фокусное расстояние:

\(\frac{1}{f} = 5 \, \text{м}^{-1}\).

Так как нам нужно найти положение выдавленного изображения, то оно будет находиться на расстоянии \(d\) от линзы. Используем формулу тонкой линзы для нахождения фокусного расстояния линзы:

\(\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\).

Поскольку радиусы кривизны поверхностей могут быть различными, обозначим их как \(R\) и \(-R\).

\(\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}\right) = (n - 1)\left(\frac{2}{R}\right)\).

Используя полученное уравнение и данное значение оптической силы, найдем значение показателя преломления \(n\):

\((n - 1)\left(\frac{2}{R}\right) = 5 \, \text{м}^{-1}.\)

Решая это уравнение относительно \(n\), получим:

\(n - 1 = \frac{5 \, \text{м}^{-1}}{\frac{2}{R}} = \frac{5R}{2} \, \text{м}^{-1}.\)

Simplificaendo esta expresión, resulta:

\(n = 1 + \frac{5R}{2} \, \text{м}^{-1}.\)

Теперь, используя полученное значение \(n\), мы найдем положение выдавленного изображения. Положение выдавленного изображения определяется формулой:

\(\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = \frac{1}{k}\),

где \(d\) - расстояние от линзы до изображения, \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(k\) - кратность увеличения или уменьшения изображения.

Мы знаем, что кратность увеличения или уменьшения изображения равна отношению высоты изображения \(h"\) к высоте предмета \(h\):

\(k = \frac{h"}{h}.\)

Задача говорит, что высота изображения увеличивается в 2 раза по сравнению с высотой предмета:

\(k = \frac{h"}{h} = 2.\)

Тогда формула для положения выдавленного изображения будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = \frac{1}{k}.\)

Подставим в эту формулу значения фокусного расстояния \(f\) и кратности увеличения \(k\), полученные ранее. Решим это уравнение относительно \(d\):

\(\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = \frac{1}{k}.\)

Подставляем \(f = \frac{1}{n}\):

\(\frac{1}{d} - \frac{1}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{k}.\)

Упрощаем выражение:

\(\frac{1}{d} - n = \frac{1}{k}.\)

Так как \(k = 2\), то получаем:

\(\frac{1}{d} - n = \frac{1}{2}.\)

Теперь решаем это уравнение относительно \(d\):

\(\frac{1}{d} = \frac{1}{2} + n.\)

Invertimos ambos términos de la ecuación:

\(d = \frac{1}{\frac{1}{2} + n}.\)

Полученное выражение показывает положение выдавленного изображения относительно линзы.