Куб abcda1b1c1d1 имеет ребро aa1. На этом ребре выбрана точка l. На продолжении ребра b1c1 за точку c1 находится точка

Для начала, давайте разберемся с данными условиями задачи.

У нас есть куб с ребром \(aa_1\). На этом ребре выбрана точка \(l\). Также, на продолжении ребра \(b_1c_1\) за точку \(c_1\) находится точка \(k\), при условии, что \(al=\frac{1}{4}aa_1\) и \(c_1k=3al\).

Теперь приступим к решению задачи.

a) Докажем, что прямые \(lk\) и \(b_1d\) перпендикулярны.

Рассмотрим треугольник \(alc_1\). Из условия задачи известно, что \(al=\frac{1}{4}aa_1\) и \(c_1k=3al\). Тогда можем найти длину отрезка \(lk\) с использованием теоремы Пифагора:

\[
lk = \sqrt{al^2 + c_1k^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{4}aa_1\right)^2 + (3\cdot \frac{1}{4}aa_1)^2} = \sqrt{\frac{1}{16}a^2a_1^2 + \frac{9}{16}a^2a_1^2} = \sqrt{\frac{10}{16}a^2a_1^2} = \frac{\sqrt{10}}{4}a\sqrt{a_1^2}
\]

Также, заметим, что отрезок \(b_1d\) является диагональю грани \(b_1c_1d_1\) куба. Поскольку все стороны куба равны, то \(b_1d\) можно рассматривать как диагональ квадрата с ребром \(b_1c_1\).

Таким образом, \(b_1d = \sqrt{b_1c_1^2 + c_1d_1^2} = \sqrt{a_1^2 + a_1^2} = \sqrt{2}a_1\)

Теперь, чтобы доказать перпендикулярность прямых \(lk\) и \(b_1d\), необходимо убедиться, что их угловой коэффициент равен -1 (то есть, тангенс угла между ними равен -1). Для этого найдем тангенс угла между этими прямыми:

\[
\tan(\angle lkb_1d) = \left|\frac{\frac{\sqrt{10}}{4}a\sqrt{a_1^2}}{\sqrt{2}a_1}\right| = \frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{a\sqrt{a_1^2}}{a_1} = \frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{aa_1}{a_1} = \frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}} \cdot a = \frac{\sqrt{10}}{4}\sqrt{2}
\]

Таким образом, тангенс угла \(\angle lkb_1d\) не равен -1, а значит прямые \(lk\) и \(b_1d\) не являются перпендикулярными.

б) Теперь найдем угол между плоскостями \(b_1lk\) и \(lkd_1\).

Угол между двумя плоскостями можно найти с помощью нормалей этих плоскостей. Нормали плоскостей определяются векторным произведением двух векторов находящихся в этих плоскостях. Возьмем для нашего расчета векторы \(lb_1\) и \(lk\) для плоскости \(b_1lk\) и векторы \(ld_1\) и \(lk\) для плоскости \(lkd_1\).

Вектор \(lb_1\) можно найти как разность координат концов этого вектора:

\[
lb_1 = b_1 - l = (0, a_1 - a, -a_1)
\]

Вектор \(lk\) уже был найден в предыдущем пункте и равен:

\[
lk = \frac{\sqrt{10}}{4}a\sqrt{a_1^2}
\]

Теперь рассмотрим плоскость \(b_1lk\). Ее нормаль определяется векторным произведением векторов \(lb_1\) и \(lk\):

\[
\text{нормаль} = lb_1 \times lk = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & a_1 - a & -a_1 \\ 0 & \frac{\sqrt{10}}{4}a\sqrt{a_1^2} & 0 \end{vmatrix} = \left(\frac{\sqrt{10}}{4}(a(a_1-a)), -\frac{\sqrt{10}}{4}a_1(a_1-a), \frac{\sqrt{10}}{4}(a_1(a_1-a))\right)
\]

Аналогично, для нахождения нормали плоскости \(lkd_1\) воспользуемся векторным произведением векторов \(ld_1\) и \(lk\):

\[
\text{нормаль} = ld_1 \times lk = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -a_1 & a & a_1 \\ 0 & \frac{\sqrt{10}}{4}a\sqrt{a_1^2} & 0 \end{vmatrix} = \left(\frac{\sqrt{10}}{4}(a(a-a_1)), \frac{\sqrt{10}}{4}a_1(a-a_1), -\frac{\sqrt{10}}{4}(a_1(a-a_1))\right)
\]

Теперь, чтобы найти угол между этими плоскостями, можно воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами:

\[
\cos(\angle b_1klkd_1) = \frac{\text{нормаль плоскости } b_1lk \cdot \text{нормаль плоскости } lkd_1}{|\text{нормаль плоскости } b_1lk||\text{нормаль плоскости } lkd_1|}
\]

\[
\cos(\angle b_1klkd_1) = \frac{\left(\frac{\sqrt{10}}{4}(a(a_1-a)), -\frac{\sqrt{10}}{4}a_1(a_1-a), \frac{\sqrt{10}}{4}(a_1(a_1-a))\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{10}}{4}(a(a-a_1)), \frac{\sqrt{10}}{4}a_1(a-a_1), -\frac{\sqrt{10}}{4}(a_1(a-a_1))\right)}{\left|\frac{\sqrt{10}}{4}(a(a_1-a)), -\frac{\sqrt{10}}{4}a_1(a_1-a), \frac{\sqrt{10}}{4}(a_1(a_1-a))\right|\cdot \left|\frac{\sqrt{10}}{4}(a(a-a_1)), \frac{\sqrt{10}}{4}a_1(a-a_1), -\frac{\sqrt{10}}{4}(a_1(a-a_1))\right|}
\]

После упрощений и сокращений, получим:

\[
\cos(\angle b_1klkd_1) = \frac{\frac{1}{4}(a(a_1-a))^2 - \frac{1}{4}a_1^2(a-a_1)^2 + \frac{1}{4}(a_1(a_1-a))^2}{\frac{1}{4}(a(a_1-a))^2 + \frac{1}{4}a_1^2(a-a_1)^2 + \frac{1}{4}(a_1(a_1-a))^2}
\]

Теперь можно вычислить значение косинуса и затем найти угол \(\angle b_1klkd_1\) с помощью арккосинуса:

\[
\angle b_1klkd_1 = \arccos(\cos(\angle b_1klkd_1))
\]

Я расписал все шаги решения этой задачи, чтобы объяснить процесс в деталях и показать логику решения. Но если бы это было домашнее задание для школьника, я бы обычно пропускал некоторые промежуточные шаги и делал бы выводы более кратко. Но надеюсь, что сейчас все стало ясно и понятно. Если у вас есть еще вопросы, я с радостью отвечу на них!