1) Каков результат умножения sin 82°30 на cos 52°30 ? 2) Каков результат умножения sin 82°30 на cos 37°30 ? 3) Каков

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1) Результат умножения $\sin {82}^{\circ }30"$ на $\cos {52}^{\circ }30"$ можно найти, применив формулу перемножения синуса и косинуса:
$$\sin (\alpha )\cdot \cos (\beta )=\frac{1}{2}(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta ))$$

Подставив значения углов, получаем:
$$\sin ({82}^{\circ }30")\cdot \cos ({52}^{\circ }30")=\frac{1}{2}(\sin ({82}^{\circ }30"+{52}^{\circ }30")+\sin ({82}^{\circ }30"-{52}^{\circ }30"))$$

Выполнив вычисления внутри скобок, получаем:
$$\sin ({82}^{\circ }30"+{52}^{\circ }30")=\sin ({135}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin ({82}^{\circ }30"-{52}^{\circ }30")=\sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}$$

Теперь, подставив значения обратно в исходную формулу, получаем:
$$\sin ({82}^{\circ }30")\cdot \cos ({52}^{\circ }30")=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{2}+1}{4}$$

Таким образом, результат равен $\frac{\sqrt{2}+1}{4}$.

2) Аналогично предыдущему вопросу, здесь мы умножаем $\sin {82}^{\circ }30"$ на $\cos {37}^{\circ }30"$:
$$\sin ({82}^{\circ }30")\cdot \cos ({37}^{\circ }30")=\frac{1}{2}(\sin ({82}^{\circ }30"+{37}^{\circ }30")+\sin ({82}^{\circ }30"-{37}^{\circ }30"))$$

Выполняя вычисления, получаем:
$$\sin ({82}^{\circ }30"+{37}^{\circ }30")=\sin ({120}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin ({82}^{\circ }30"-{37}^{\circ }30")=\sin ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставив значения обратно в формулу, получаем:
$$\sin ({82}^{\circ }30")\cdot \cos ({37}^{\circ }30")=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$$

Следовательно, результат равен $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$.

3) Здесь мы умножаем $\cos {37}^{\circ }30"$ на $\cos 7^{\circ }30"$:
$$\cos ({37}^{\circ }30")\cdot \cos (7^{\circ }30")=\frac{1}{2}(\cos ({37}^{\circ }30"+7^{\circ }30")+\cos ({37}^{\circ }30"-7^{\circ }30"))$$

\Получаем:
$$\cos ({37}^{\circ }30"+7^{\circ }30")=\cos ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos ({37}^{\circ }30"-7^{\circ }30")=\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставив значения обратно, получаем:
$$\cos ({37}^{\circ }30")\cdot \cos (7^{\circ }30")=\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}$$

Следовательно, результат равен $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}$.

4) Здесь мы умножаем $\cos {82}^{\circ }30"$ на $\cos {37}^{\circ }30"$:
$$\cos ({82}^{\circ }30")\cdot \cos ({37}^{\circ }30")=\frac{1}{2}(\cos ({82}^{\circ }30"+{37}^{\circ }30")+\cos ({82}^{\circ }30"-{37}^{\circ }30"))$$

Выполнив вычисления, получаем:
$$\cos ({82}^{\circ }30"+{37}^{\circ }30")=\cos ({120}^{\circ })=-\frac{1}{2}$$
$$\cos ({82}^{\circ }30"-{37}^{\circ }30")=\cos ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим значения обратно:
$$\cos ({82}^{\circ }30")\cdot \cos ({37}^{\circ }30")=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}-1}{4}$$

Следовательно, результат равен $\frac{\sqrt{2}-1}{4}$.

5) Здесь мы складываем $\cos {75}^{\circ }$ и $\cos {105}^{\circ }$:
$$\cos {75}^{\circ }+\cos {105}^{\circ }=\cos ({180}^{\circ }-{75}^{\circ })+\cos ({180}^{\circ }-{105}^{\circ })=\cos {105}^{\circ }+\cos {75}^{\circ }$$

По свойству коммутативности сложения, порядок слагаемых можно изменить:
$$\cos {75}^{\circ }+\cos {105}^{\circ }=\cos {105}^{\circ }+\cos {75}^{\circ }$$

Таким образом, результат равен $\cos {105}^{\circ }+\cos {75}^{\circ }$.

6) Здесь мы умножаем $\cos {45}^{\circ }$ на $\cos {75}^{\circ }$:
$$\cos {45}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos ({45}^{\circ }+{75}^{\circ })+\cos ({45}^{\circ }-{75}^{\circ }))$$

Выполняя вычисления, получаем:
$$\cos ({45}^{\circ }+{75}^{\circ })=\cos ({120}^{\circ })=-\frac{1}{2}$$
$$\cos ({45}^{\circ }-{75}^{\circ })=\cos (-{30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем значения обратно:
$$\cos {45}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$$

Следовательно, результат равен $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$.

7) Здесь мы ищем эквивалентное уравнение для $2\sin \alpha \cdot \sin 2\alpha +\cos 3\alpha =\cos \alpha$:
$$2\sin \alpha \cdot \sin 2\alpha +\cos 3\alpha =\cos \alpha$$

Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$
$$2\sin \alpha \cdot (2\sin \alpha \cdot \cos \alpha )+\cos 3\alpha =\cos \alpha$$

Теперь приводим все слагаемые синусов к общему знаменателю:
$$4(\sin \alpha {)}^2\cdot \cos \alpha +\cos 3\alpha =\cos \alpha$$

Упрощаем уравнение, перенося все слагаемые на одну сторону:
$$4(\sin \alpha {)}^2\cdot \cos \alpha +\cos 3\alpha -\cos \alpha =0$$
$$4(\sin \alpha {)}^2\cdot \cos \alpha +\cos 3\alpha -\cos \alpha =0$$
$$4(\sin \alpha {)}^2\cdot \cos \alpha +\cos 3\alpha -\cos \alpha =0$$

Окончательно получаем эквивалентное уравнение $4(\sin \alpha {)}^2\cdot \cos \alpha +\cos 3\alpha -\cos \alpha =0$.

8) Здесь мы ищем эквивалентное уравнение для $2\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha +2\cos 7\alpha \cdot \cos 3\alpha -\cos 10\alpha =\cos 2\alpha$:
$$2\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha +2\cos 7\alpha \cdot \cos 3\alpha -\cos 10\alpha =\cos 2\alpha$$

Мы можем использовать формулу двойного угла для синуса и косинуса, а также формулу разности косинусов:
$$2\sin \alpha \cdot (3\sin \alpha -4(\sin \alpha {)}^3)+2\cos 7\alpha \cdot \cos 3\alpha -\cos 10\alpha =\cos 2\alpha$$

Далее используем формулу разности синусов:
$$2\sin \alpha \cdot (3\sin \alpha -4(\sin \alpha {)}^3)+2\cos 7\alpha \cdot (4(\cos \alpha {)}^3-3\cos \alpha )-\cos 10\alpha =\cos 2\alpha$$

Окончательно получаем эквивалентное уравнение:
$$2\sin \alpha \cdot (3\sin \alpha -4(\sin \alpha {)}^3)+2\cos 7\alpha \cdot (4(\cos \alpha {)}^3-3\cos \alpha )-\cos 10\alpha =\cos 2\alpha$$.

9) Здесь мы находим значение выражения $\cos (\alpha +{60}^{\circ })+\cos (\alpha -{60}^{\circ })$:
$$\cos (\alpha +{60}^{\circ })+\cos (\alpha -{60}^{\circ })$$

Мы можем использовать формулу косинуса суммы:
$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$$

Подставляем значения $\beta ={60}^{\circ }$ и $\beta =-{60}^{\circ }$:
$$\cos (\alpha +{60}^{\circ })+\cos (\alpha -{60}^{\circ })=(\cos \alpha \cdot \cos {60}^{\circ }-\sin \alpha \cdot \sin {60}^{\circ })+(\cos \alpha \cdot \cos (-{60}^{\circ })-\sin \alpha \cdot \sin (-{60}^{\circ }))$$

Теперь упрощаем:
$$(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2}-\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})+(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2}+\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$$

Мы видим, что представленные слагаемые в скобках сокращаются:
$$(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2}-\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})+(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2}+\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$$
$$2(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2})$$

Здесь также сокращаемся множители:
$$2(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2})$$
$$\cos \alpha$$

Ответ: $\cos \alpha$.

10) Здесь мы находим значение выражения $\cos (\alpha +{60}^{\circ })-\cos (\alpha -{60}^{\circ })$:
$$\cos (\alpha +{60}^{\circ })-\cos (\alpha -{60}^{\circ })$$

Мы можем использовать формулу разности косинусов:
$$\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=-2\sin \alpha \cdot \sin \beta$$

Подставляем значения $\beta ={60}^{\circ }$ и $\beta =-{60}^{\circ }$:
$$\cos (\alpha +{60}^{\circ })-\cos (\alpha -{60}^{\circ })=-2\sin \alpha \cdot \sin {60}^{\circ }$$

Упрощаем:
$$-2\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Мы видим, что множители сокращаются:
$$-2\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$-\sqrt{3}\sin \alpha$$

Ответ: $-\sqrt{3}\sin \alpha$.

11) Вопрос не был закончен, пожалуйста, уточните его, и я буду рад помочь вам.