1) Каков результат умножения sin 82°30 на cos 52°30 ? 2) Каков результат умножения sin 82°30 на cos 37°30 ? 3) Каков

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1) Результат умножения \(\sin 82^\circ 30" \) на \(\cos 52^\circ 30" \) можно найти, применив формулу перемножения синуса и косинуса:
\[ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right) \]

Подставив значения углов, получаем:
\[\sin(82^\circ 30") \cdot \cos(52^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( \sin(82^\circ 30" + 52^\circ 30") + \sin(82^\circ 30" - 52^\circ 30") \right) \]

Выполнив вычисления внутри скобок, получаем:
\[\sin(82^\circ 30" + 52^\circ 30") = \sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[\sin(82^\circ 30" - 52^\circ 30") = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

Теперь, подставив значения обратно в исходную формулу, получаем:
\[\sin(82^\circ 30") \cdot \cos(52^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{2} + 1}{4} \]

Таким образом, результат равен \(\frac{\sqrt{2} + 1}{4}\).

2) Аналогично предыдущему вопросу, здесь мы умножаем \(\sin 82^\circ 30" \) на \(\cos 37^\circ 30" \):
\[ \sin(82^\circ 30") \cdot \cos(37^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( \sin(82^\circ 30" + 37^\circ 30") + \sin(82^\circ 30" - 37^\circ 30") \right) \]

Выполняя вычисления, получаем:
\[\sin(82^\circ 30" + 37^\circ 30") = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[\sin(82^\circ 30" - 37^\circ 30") = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Подставив значения обратно в формулу, получаем:
\[\sin(82^\circ 30") \cdot \cos(37^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} \]

Следовательно, результат равен \(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}\).

3) Здесь мы умножаем \(\cos 37^\circ 30" \) на \(\cos 7^\circ 30" \):
\[\cos(37^\circ 30") \cdot \cos(7^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( \cos(37^\circ 30" + 7^\circ 30") + \cos(37^\circ 30" - 7^\circ 30") \right) \]

\\Получаем:
\[\cos(37^\circ 30" + 7^\circ 30") = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[\cos(37^\circ 30" - 7^\circ 30") = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставив значения обратно, получаем:
\[\cos(37^\circ 30") \cdot \cos(7^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} \]

Следовательно, результат равен \(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}\).

4) Здесь мы умножаем \(\cos 82^\circ 30" \) на \(\cos 37^\circ 30" \):
\[\cos(82^\circ 30") \cdot \cos(37^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( \cos(82^\circ 30" + 37^\circ 30") + \cos(82^\circ 30" - 37^\circ 30") \right) \]

Выполнив вычисления, получаем:
\[\cos(82^\circ 30" + 37^\circ 30") = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
\[\cos(82^\circ 30" - 37^\circ 30") = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Подставим значения обратно:
\[\cos(82^\circ 30") \cdot \cos(37^\circ 30") = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}-1}{4} \]

Следовательно, результат равен \(\frac{\sqrt{2}-1}{4}\).

5) Здесь мы складываем \(\cos 75^\circ \) и \(\cos 105^\circ \):
\[\cos 75^\circ + \cos 105^\circ = \cos(180^\circ - 75^\circ) + \cos(180^\circ - 105^\circ) = \cos 105^\circ + \cos 75^\circ \]

По свойству коммутативности сложения, порядок слагаемых можно изменить:
\[\cos 75^\circ + \cos 105^\circ = \cos 105^\circ + \cos 75^\circ \]

Таким образом, результат равен \(\cos 105^\circ + \cos 75^\circ \).

6) Здесь мы умножаем \(\cos 45^\circ \) на \(\cos 75^\circ \):
\[\cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(45^\circ + 75^\circ) + \cos(45^\circ - 75^\circ) \right) \]

Выполняя вычисления, получаем:
\[\cos(45^\circ + 75^\circ) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
\[\cos(45^\circ - 75^\circ) = \cos(-30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставляем значения обратно:
\[\cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \]

Следовательно, результат равен \(\frac{\sqrt{3} - 1}{4}\).

7) Здесь мы ищем эквивалентное уравнение для \(2\sin \alpha \cdot \sin 2\alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha \):
\[ 2\sin \alpha \cdot \sin 2\alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha\]

Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \)
\[ 2\sin \alpha \cdot (2\sin \alpha \cdot \cos \alpha) + \cos 3\alpha = \cos \alpha \]

Теперь приводим все слагаемые синусов к общему знаменателю:
\[ 4(\sin \alpha)^2 \cdot \cos \alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha \]

Упрощаем уравнение, перенося все слагаемые на одну сторону:
\[ 4(\sin \alpha)^2 \cdot \cos \alpha + \cos 3\alpha - \cos \alpha = 0 \]
\[ 4(\sin \alpha)^2 \cdot \cos \alpha + \cos 3\alpha - \cos \alpha = 0 \]
\[ 4(\sin \alpha)^2 \cdot \cos \alpha + \cos 3\alpha - \cos \alpha = 0 \]

Окончательно получаем эквивалентное уравнение \(4(\sin \alpha)^2 \cdot \cos \alpha + \cos 3\alpha - \cos \alpha = 0 \).

8) Здесь мы ищем эквивалентное уравнение для \(2\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha + 2\cos 7\alpha \cdot \cos 3\alpha - \cos 10\alpha = \cos 2\alpha \):
\[ 2\sin \alpha \cdot \sin 3\alpha + 2\cos 7\alpha \cdot \cos 3\alpha - \cos 10\alpha = \cos 2\alpha \]

Мы можем использовать формулу двойного угла для синуса и косинуса, а также формулу разности косинусов:
\[ 2\sin \alpha \cdot (3\sin \alpha - 4(\sin \alpha)^3) + 2\cos 7\alpha \cdot \cos 3\alpha - \cos 10\alpha = \cos 2\alpha \]

Далее используем формулу разности синусов:
\[ 2\sin \alpha \cdot (3\sin \alpha - 4(\sin \alpha)^3) + 2\cos 7\alpha \cdot (4(\cos \alpha)^3 - 3\cos \alpha) - \cos 10\alpha = \cos 2\alpha \]

Окончательно получаем эквивалентное уравнение:
\[ 2\sin \alpha \cdot (3\sin \alpha - 4(\sin \alpha)^3) + 2\cos 7\alpha \cdot (4(\cos \alpha)^3 - 3\cos \alpha) - \cos 10\alpha = \cos 2\alpha \].

9) Здесь мы находим значение выражения \( \cos(\alpha + 60^\circ) + \cos(\alpha - 60^\circ) \):
\[ \cos(\alpha + 60^\circ) + \cos(\alpha - 60^\circ) \]

Мы можем использовать формулу косинуса суммы:
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \]

Подставляем значения \(\beta = 60^\circ\) и \(\beta = -60^\circ\):
\[ \cos(\alpha + 60^\circ) + \cos(\alpha - 60^\circ) = (\cos \alpha \cdot \cos 60^\circ - \sin \alpha \cdot \sin 60^\circ) + (\cos \alpha \cdot \cos (-60^\circ) - \sin \alpha \cdot \sin (-60^\circ)) \]

Теперь упрощаем:
\[ (\cos \alpha \cdot \frac{1}{2} - \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\cos \alpha \cdot \frac{1}{2} + \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \]

Мы видим, что представленные слагаемые в скобках сокращаются:
\[ (\cos \alpha \cdot \frac{1}{2} - \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\cos \alpha \cdot \frac{1}{2} + \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \]
\[ 2(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2}) \]

Здесь также сокращаемся множители:
\[ 2(\cos \alpha \cdot \frac{1}{2}) \]
\[ \cos \alpha \]

Ответ: \(\cos \alpha\).

10) Здесь мы находим значение выражения \( \cos(\alpha + 60^\circ) - \cos(\alpha - 60^\circ) \):
\[ \cos(\alpha + 60^\circ) - \cos(\alpha - 60^\circ) \]

Мы можем использовать формулу разности косинусов:
\[ \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin \alpha \cdot \sin \beta \]

Подставляем значения \(\beta = 60^\circ\) и \(\beta = -60^\circ\):
\[ \cos(\alpha + 60^\circ) - \cos(\alpha - 60^\circ) = -2\sin \alpha \cdot \sin 60^\circ \]

Упрощаем:
\[ -2\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Мы видим, что множители сокращаются:
\[ -2\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ -\sqrt{3}\sin \alpha \]

Ответ: \(-\sqrt{3}\sin \alpha\).

11) Вопрос не был закончен, пожалуйста, уточните его, и я буду рад помочь вам.