КР-2. Вариант 2. 1. Докажите, что точки М, N, К и Р, которые являются серединами рёбер АС, AD, BD и ВС тетраэдра DABC

Задача 1. Для доказательства, что точки М, N, К и Р образуют параллелограмм, мы можем использовать свойства серединных перпендикуляров. Для начала, давайте определим эти точки:

М — середина ребра АС,
N — середина ребра AD,
К — середина ребра BD,
P — середина ребра ВС.

Чтобы доказать, что МNKP — параллелограмм, мы должны доказать, что противоположные стороны МN и KP параллельны и равны по длине.

1. Докажем, что МN || KP. Используем свойство серединных перпендикуляров:

Так как М — середина ребра АС, то МН перпендикулярно АС и делит его пополам. Аналогично, KP перпендикулярно ВС и делит его пополам. Поэтому МН и KP параллельны.

2. Докажем, что МН = KP. Используем свойство серединных отрезков:

Так как М — середина ребра АС, то МН равна половине АС. Аналогично, KP равна половине ВС. Поскольку АС и ВС суть одно и то же ребро тетраэдра DABC, и М и P являются их серединами соответственно, АС и ВС равны по длине. Поэтому МН равна KP.

Таким образом, мы доказали, что точки М, N, К и Р образуют параллелограмм. Чтобы вычислить периметр этого параллелограмма, нам нужно найти длины его сторон.

Так как MNKP — параллелограмм, противоположные стороны равны по длине. Поэтому МН = KP.

Периметр параллелограмма равен сумме длин сторон:

Периметр = МН + НК + КР + RP

Так как МН = KP, а НК = РМ (так как они являются параллельными сторонами параллелограмма), то:
Периметр = МН + НК + КР + RP = 2МН + 2НК

Таким образом, периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин МН и НК.

Задача 2. Чтобы найти сторону EF треугольника DEF, нам нужно использовать заданную информацию о плоскости γ, пересекающей стороны DE и DF треугольника в точках В и С соответственно.

Известно, что CD : CF = 3:7 и ВС = 9 см.

Мы можем найти длину стороны DE, используя пропорцию:

\(\frac{{CD}}{{CF}} = \frac{{DE}}{{EF}}\)

Подставим значения из условия: \(\frac{{3}}{{7}} = \frac{{DE}}{{EF}}\)

Теперь найдём DE, умножив обе части пропорции на EF: \(3 \cdot EF = 7 \cdot DE\)

Также известно, что ВС = 9 см. Мы можем использовать это, чтобы найти длину DE:

DE = ВС + CD = 9 + 3 = 12 см

Теперь подставим это значение в уравнение:

\(3 \cdot EF = 7 \cdot 12\)

Выразим EF:

\(EF = \frac{{7 \cdot 12}}{{3}}\)

Выполним вычисления:

\(EF = \frac{{84}}{{3}} = 28\) см

Таким образом, сторона EF треугольника DEF равна 28 см.

Задача 3. Для построения изображения радиуса вписанной окружности квадрата ABCD, который является изображением квадрата A1B1C1D1, нам понадобится использовать рисунок, обозначенный рис. 108.

Изображение квадрата A1B1C1D1 находится внутри квадрата ABCD и симметрично ему относительно центра квадрата ABCD. Радиус вписанной окружности квадрата A1B1C1D1 будет проходить через середины сторон ABCD и ABCD1, а также будет параллелен сторонам квадрата ABCD.

Чтобы построить изображение радиуса вписанной окружности квадрата ABCD, нарисуем отрезок, соединяющий середину стороны AB со серединой стороны ABCD1. Этот отрезок будет являться радиусом вписанной окружности.

Получившийся отрезок будет проходить через точку пересечения двух диагоналей квадрата ABCD и будет параллелен сторонам квадрата ABCD.

Таким образом, построено изображение радиуса вписанной окружности квадрата ABCD.