Конустың өнімшісі а, қазіргі қыштықтардың көлеміндегі бөршіш α. Конустың платформасының жерлестігін және үлесін

Хорошо, давайте разберем задачу о конусе подробно. В данной задаче у нас есть конус с основанием площадью \(а\) и углом раскрытия (расположения пологих граней) равным \(\alpha\). Нам нужно найти объем и площадь поверхности конуса.

Для начала, рассмотрим площадь основания конуса. Она задается формулой площади круга - \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус основания конуса. Нам известна площадь \(а\) основания, поэтому мы можем найти радиус, используя формулу радиуса круга: \(r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}\).

Далее, нам нужно найти объем конуса. Объем конуса задается формулой \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(h\) - высота конуса. Однако, в задаче нам дана информация о геометрической характеристике конуса - угле раскрытия \(\alpha\). Угол раскрытия \(\alpha\) привязан к высоте \(\text{h}\) и радиусу \(\text{r}\) следующим образом: \(\text{tg}(\alpha) = \frac{\text{h}}{\text{r}}\). Из этого уравнения мы можем выразить \(\text{h}\) через \(\text{r}\) и \(\alpha\): \(\text{h} = \text{r} \cdot \text{tg}(\alpha)\).

Теперь мы можем подставить найденное значение высоты в формулу объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\sqrt{\frac{a}{\pi}}\right)^2 \left(\sqrt{\frac{a}{\pi}}\cdot \text{tg}(\alpha)\right).\]

Таким образом, мы получили формулу для нахождения объема конуса в зависимости от известных параметров.

Для нахождения площади поверхности конуса, мы можем воспользоваться формулой площади боковой поверхности конуса: \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(l\) - образует наклон длинного касательного отрезка к поверхности конуса. Используем формулу для нахождения \(l\):

\[l = \sqrt{\text{h}^2 + \text{r}^2} = \sqrt{(\text{r} \cdot \text{tg}(\alpha))^2 + \text{r}^2}.\]

Подставим найденное значение \(l\) в формулу площади боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \sqrt{\frac{a}{\pi}} \cdot \sqrt{(\text{r} \cdot \text{tg}(\alpha))^2 + \text{r}^2}.\]

Таким образом, мы получили формулу для нахождения площади поверхности конуса в зависимости от известных параметров.

Данные формулы позволяют нам найти объем и площадь поверхности конуса при заданных значениях \(а\) и \(\alpha\). Не забывайте подставлять численные значения и в конечном ответе указывать единицы измерения, если они присутствуют.