Где на прямой a располагаются три точки A, B и M, такие что: а) длина вектора AM равна утроенной длине вектора

Давайте решим каждый пункт задачи по очереди:

а) В этом случае мы должны найти точку М на прямой, такую что вектор AM равен утроенному вектору MB.

Пусть A и B - две точки на прямой а, и пусть координаты этих точек на числовой оси равны \(x_A\) и \(x_B\) соответственно. Пусть \(x_M\) - координата точки M.

Так как вектор AM равен утроенному вектору BM, мы можем записать это в виде уравнения: \(\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{MB}\).

Из определения векторов, это уравнение можно записать для каждой координаты следующим образом:
\(x_M - x_A = 3(x_B - x_M)\).

Теперь решим это уравнение относительно \(x_M\):
Раскрывая скобки получим:
\(x_M - x_A = 3x_B - 3x_M\).
Переносим все \(x_M\) на одну сторону:
\(4x_M = x_A + 3x_B\).
Выражаем \(x_M\):
\(x_M = \frac{x_A + 3x_B}{4}\).

Таким образом, точка M на прямой a будет иметь координату \(x_M = \frac{x_A + 3x_B}{4}\).

б) В этом случае вектор AM равен третьей части вектора MB.

Используя аналогичные обозначения, мы можем записать уравнение для этого случая: \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MB}\).

Перепишем данное уравнение для координат:
\(x_M - x_A = \frac{1}{3}(x_B - x_M)\).

Решим его относительно \(x_M\):
Раскрываем скобки:
\(x_M - x_A = \frac{1}{3}x_B - \frac{1}{3}x_M\).
Переносим все \(x_M\) на одну сторону:
\(\frac{4}{3}x_M = x_A + \frac{1}{3}x_B\).
Выражая \(x_M\):
\(x_M = \frac{3x_A + x_B}{4}\).

Следовательно, точка M на прямой a будет иметь координату \(x_M = \frac{3x_A + x_B}{4}\).

в) В этом случае вектор AM равен половине вектора MB.

Уравнение для этого случая будет выглядеть так: \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MB}\).

Запись этого уравнения для координат будет следующей:
\(x_M - x_A = \frac{1}{2}(x_B - x_M)\).

Решим его относительно \(x_M\):
Раскрываем скобки:
\(x_M - x_A = \frac{1}{2}x_B - \frac{1}{2}x_M\).
Переносим все \(x_M\) на одну сторону:
\(\frac{3}{2}x_M = x_A + \frac{1}{2}x_B\).
Выражая \(x_M\):
\(x_M = \frac{2x_A + x_B}{3}\).

Таким образом, точка M на прямой a будет иметь координату \(x_M = \frac{2x_A + x_B}{3}\).

г) В данном случае вектор AM равен -3 вектора MB.

Уравнение для этого случая будет выглядеть следующим образом: \(\overrightarrow{AM} = -3\overrightarrow{MB}\).

Получаем уравнение для координат:
\(x_M - x_A = -3(x_B - x_M)\).

Решим его относительно \(x_M\):
Раскрываем скобки:
\(x_M - x_A = -3x_B + 3x_M\).
Переносим все \(x_M\) на одну сторону:
\(2x_M = x_A - 3x_B\).
Выражаем \(x_M\):
\(x_M = \frac{x_A - 3x_B}{2}\).

Таким образом, точка M на прямой a будет иметь координату \(x_M = \frac{x_A - 3x_B}{2}\).

Мы описали полное решение для каждого пункта задачи, предоставив подробное объяснение для каждого шага.