Какова область определения функции Z=1/(r^2-x^2-y^2)?

Чтобы определить область определения функции \(Z = \frac{1}{{r^2 - x^2 - y^2}}\), нужно найти значения \(x\), \(y\) и \(r\), при которых функция \(Z\) определена. Отметим, что функция \(Z\) является рациональной функцией.

Делитель в данной функции — это выражение \(r^2 - x^2 - y^2\). Чтобы делитель не был равен нулю, его нужно исключить из области определения.

Чтобы найти граничные значения промежутка, при котором делитель равен нулю, решим уравнение \(r^2 - x^2 - y^2 = 0\). Это уравнение является уравнением поверхности — сферы радиуса \(r\), центр которой находится в начале координат \((0, 0, 0)\).

Уравнение \(r^2 - x^2 - y^2 = 0\) можно переписать в виде \(r^2 = x^2 + y^2\). Это уравнение задает уравнение окружности радиуса \(r\) в плоскости \(xy\).

Из этого уравнения видно, что функция \(Z\) будет неопределенной, когда точка \((x, y)\) лежит на поверхности сферы радиуса \(r\), иначе говоря, когда \(x^2 + y^2 = r^2\).

Таким образом, область определения функции \(Z = \frac{1}{{r^2 - x^2 - y^2}}\) будет иметь вид всех точек \((x, y, r)\) в трехмерном пространстве, которые не лежат на поверхности сферы радиуса \(r\), или может быть записана в виде:
\[
D = \{(x, y, r) \,|\, x^2 + y^2 < r^2\},
\]
где \(D\) — это область определения функции \(Z\), а \(x\) и \(y\) — независимые переменные, а \(r\) — параметр функции.