Контрольная работа номер 5 на тему Квадратные уравнения. Теорема Виета Вариант 1: 1. Пожалуйста, решите следующие

1. Решение уравнений:

a) Дано: \(5x^2 - 10 = 0\).
Решение:
Выделяем общий множитель: \(5(x^2 - 2) = 0\).
Теперь решаем полученное квадратное уравнение \((x^2 - 2) = 0\).
Решение: \(x_1 = \sqrt{2}\), \(x_2 = -\sqrt{2}\).

b) Дано: \(x^2 + 6x - 7 = 0\).
Решение:
Мы видим, что это квадратное уравнение, которое не может быть решено факторизацией.
Используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\).
Подставляем значения: \(D = 6^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64\).
Теперь решим уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1.\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7.\]

c) Дано: \(x^2 - 3x + 1 = 0\).
Решение:
Для решения этого уравнения также придется использовать формулу дискриминанта.
\(D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5\).
\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}.\]
\[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.\]

d) Дано: \(3x^2 + 4x = 0\).
Решение:
Выносим общий множитель: \(x(3x + 4) = 0\).
Равенство достигается, если или \(x = 0\) или \(3x + 4 = 0\).
Таким образом, решениями этого уравнения являются \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -\frac{4}{3}\).

e) Дано: \(3x^2 + 7x + 2 = 0\).
Решение:
Это квадратное уравнение, которое не может быть решено факторизацией.
Вычисляем дискриминант: \(D = 7^2 - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25\).
\[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{6} = \frac{-7 + 5}{6} = -\frac{1}{3}.\]
\[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{6} = \frac{-7 - 5}{6} = -2.\]

f) Дано: \(x^2 - x + 3 = 0\).
Решение:
Применяем формулу дискриминанта: \(D = (-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11\).
Уравнение имеет комплексные корни.

2. Квадратное уравнение с заданными корнями:
Для того чтобы найти квадратное уравнение с заданными корнями, мы можем использовать формулы Виета.
Заданные условия: сумма корней равна 6, а их произведение равно 4.
Пусть корни уравнения будут \(x_1\) и \(x_2\).
Тогда у нас есть следующие соотношения:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 6 \\
x_1 \cdot x_2 = 4
\end{cases}
\]
Воспользуемся этими соотношениями, чтобы найти нужное уравнение:
Так как сумма корней равна 6, мы можем представить ее как сумму двух переменных: \(x_1 + x_2\).
Тогда у нас есть уравнение: \((x - x_1)(x - x_2) = 0\).
Подставим значения суммы и произведения:
\((x - x_1)(x - x_2) = (x - 2)(x - 2) = x^2 - 4x + 4 = 0\).
Ответ: \(x^2 - 4x + 4 = 0\) - искомое квадратное уравнение.

3. Решение задачи о прямоугольнике:
Пусть одна сторона прямоугольника будет \(x\) см, а другая - \(x + 7\) см.
Зная, что площадь прямоугольника равна 44 квадратным сантиметрам, мы можем составить уравнение:
\(x \cdot (x + 7) = 44\).
Раскрывая скобки, получим квадратное уравнение:
\(x^2 + 7x - 44 = 0\).
Решив это уравнение с помощью формулы дискриминанта, найдем значения \(x\):
\(D = 7^2 - 4(1)(-44) = 49 + 176 = 225\).
\[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-7 + 15}{2} = 4.\]
\[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-7 - 15}{2} = -11.\]
Так как размеры сторон не могут быть отрицательными, отбрасываем значение -11.
Значит, длина одной стороны прямоугольника составляет 4 см, а длина другой стороны равна \(4 + 7 = 11\) см.

4. Найдем другой корень уравнения. Дано: \(2x^2 + bx - 6 = 0\) и \(x = -6\) - один из корней.
Теперь используем теорему Виета для нахождения другого корня и значения \(b\):
Подставим значение корня \(x = -6\) в уравнение и решим его для \(b\):
\(2(-6)^2 + b(-6) - 6 = 0\).
Раскрываем скобки и упрощаем:
\(72 - 6b - 6 = 0\).
\(66 - 6b = 0\).
Окончательно, получаем:
\(b = \frac{66}{6} = 11\).
Таким образом, другой корень равен \(x = -\frac{6}{2} = -3\) и значение \(b = 11\).

5. Впринципе, это следующее задание, но для общей ясности требуется, чтобы Вы написали его для меня. Вариант 1 - 1. x2 - 6x + 9 = 0; 2. 3x2 + 5x - 2 = 0; 3. 5x2 - 2x - 1 = 0; 4. -2x2 + 3x + 4 = 0; 5. x2 + 5x + 6 = 0.