Контрольная работа на тему: Координаты и векторы в трехмерном пространстве Вариант 1 1. Найдите: а) длину отрезка между

Контрольная работа на тему "Координаты и векторы в трехмерном пространстве" Вариант 1

1. а) Для нахождения длины отрезка между точками А и В, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

где d - длина отрезка, \(x_1, y_1, z_1\) - координаты точки А, а \(x_2, y_2, z_2\) - координаты точки В.

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\[d = \sqrt{{(5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2 + (6 - (-4))^2}} = \sqrt{{8^2 + (-6)^2 + 10^2}} = \sqrt{{64 + 36 + 100}} = \sqrt{{200}} \approx 14.14\]

Ответ: Длина отрезка между точками А и В равна примерно 14.14 единиц.

б) Чтобы найти координаты середины отрезка АВ, мы можем воспользоваться средними значениями координат точек А и В. Формула выглядит следующим образом:

\[X_m = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[Y_m = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]
\[Z_m = \frac{{z_1 + z_2}}{2}\]

где \(X_m, Y_m, Z_m\) - координаты середины отрезка АВ.

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\[X_m = \frac{{-3 + 5}}{2} = \frac{{2}}{2} = 1\]
\[Y_m = \frac{{2 + (-4)}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1\]
\[Z_m = \frac{{-4 + 6}}{2} = \frac{{2}}{2} = 1\]

Ответ: Координаты середины отрезка АВ равны (1; -1; 1).

2. а) Чтобы найти координаты вектора \(\vec{AB}\) между точками А и В, мы вычитаем координаты точки А из координат точки В. Формула будет такой:

\(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\)

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\(\vec{AB} = (7 - (-2), -5 - 5, 1 - (-6)) = (9, -10, 7)\)

Ответ: Координаты вектора \(\vec{AB}\) равны (9, -10, 7).

б) Чтобы найти модуль вектора \(\vec{AB}\), мы применяем формулу для определения длины вектора:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{{x^2 + y^2 + z^2}}\)

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{{9^2 + (-10)^2 + 7^2}} = \sqrt{{81 + 100 + 49}} = \sqrt{{230}} \approx 15.13\)

Ответ: Модуль вектора \(\vec{AB}\) равен примерно 15.13.

в) Чтобы найти координаты вектора \(\vec{AC}\) по формуле (\(x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A\)), нужны точки С и А. В условии задачи нет информации о точке С. Прошу уточнить информацию.

г) Чтобы найти косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), мы можем воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}}\),

где \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), а \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{AC}|\) - их модули.

Для нахождения косинуса угла между векторами, нам нужно знать координаты вектора \(\vec{AC}\). В условии задачи нет информации о точке С. Прошу уточнить информацию.

3. Чтобы вектор \((x, -4, 3)\) был перпендикулярен \((-15, 12, -9)\), их скалярное произведение должно быть равно нулю. Формула для скалярного произведения векторов выглядит следующим образом:

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_A \cdot x_B + y_A \cdot y_B + z_A \cdot y_B\)

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\((x, -4, 3) \cdot (-15, 12, -9) = x \cdot (-15) + (-4) \cdot 12 + 3 \cdot (-9) = -15x - 48 - 27\)

Чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

\(-15x - 48 - 27 = 0\)

\(-15x - 75 = 0\)

\(-15x = 75\)

\(x = \frac{{75}}{-15}\)

\(x = -5\)

Ответ: Значение переменной \(x\), при котором вектор \((x, -4, 3)\) перпендикулярен \((-15, 12, -9)\), равно -5.

4. Чтобы найти вектор параллельного переноса, мы вычитаем координаты точки А из координат точки В. Формула будет следующей:

\(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\)

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\(\vec{AB} = (2 - x, -4 - y, 5 - z)\)

Ответ: Вектор параллельного переноса, при котором точка А(2, -4, 5) переходит в точку В, являющуюся симметричной точкой, равен \((2 - x, -4 - y, 5 - z)\). Необходимо уточнить значения точки В, чтобы определить конкретное значение вектора переноса.