Когда в уравнении |x²-6x|=a будет ровно три корня?

Для начала рассмотрим уравнение \(|x^2-6x|=a\). Чтобы выяснить, когда в уравнении будет ровно три корня, нужно рассмотреть два случая:

1. Когда выражение \(x^2-6x\) положительно:
В этом случае модуль \(|x^2-6x|\) равен самому выражению \(x^2-6x\). То есть, уравнение запишется в виде \(x^2-6x=a\). Теперь решим это квадратное уравнение и найдем его корни.

Составим уравнение в стандартной форме и приведем его квадратное выражение к виду \((x-p)^2=q\), где \(p\) и \(q\) — некоторые числа, \(q\) неотрицательно.

В нашем случае у нас есть \(x^2-6x=a\). Преобразуем его:
\[x^2-6x-a=0\]

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся квадратным трехчленом. Для этого мы можем применить формулу дискриминанта и получить формулы для корней уравнения.

Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\). В нашем случае \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-a\). Формула для дискриминанта: \(D=b^2-4ac\).

Подставим значения в формулу дискриминанта:
\[D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-a)=36+4a\]

Ок, мы получили дискриминант. Теперь посмотрим на случаи:
- Если \(D>0\), то уравнение имеет два различных корня.
- Если \(D=0\), то уравнение имеет один корень.
- Если \(D<0\), то уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку нам нужно, чтобы уравнение имело ровно три корня, нам нужно, чтобы \(D=0\), так как только в этом случае у нас будет один корень с кратностью два. Решим уравнение:
\[D=36+4a=0\]
\[4a=-36\]
\[a=-9\]

Таким образом, при \(a=-9\) уравнение \(|x^2-6x|=a\) будет иметь ровно три корня.

2. Когда выражение \(x^2-6x\) отрицательно:
В этом случае модуль \(|x^2-6x|\) будет равен противоположности самого выражения \(-(x^2-6x)\). То есть, уравнение запишется в виде \(-(x^2-6x)=a\). Также решим это уравнение и найдем его корни.

Преобразуем уравнение:
\[-(x^2-6x)=a\]
\[-x^2+6x=a\]

Как и в предыдущем случае, приведем квадратное выражение к виду \((x-p)^2=q\). В нашем случае у нас есть \(-x^2+6x=a\). Преобразуем его:
\[x^2-6x+a=0\]

Решим используя формулу дискриминанта:
\[D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot a=36-4a\]

Теперь вновь рассмотрим случаи:
- Если \(D>0\), то уравнение имеет два различных корня.
- Если \(D=0\), то уравнение имеет один корень.
- Если \(D<0\), то уравнение не имеет действительных корней.

Мы знаем, что нам нужно ровно три корня. Значит, у нас должно быть \(D=0\) для одного из корней. Решим уравнение:
\[D=36-4a=0\]
\[4a=36\]
\[a=9\]

Значит, при \(a=9\) уравнение \(|x^2-6x|=a\) будет иметь ровно три корня.

Итак, получили два значения \(a: -9\) и \(9\), при которых уравнение \(|x^2-6x|=a\) будет иметь ровно три корня.