Когда точка x0=2 будет точкой максимума функции f(x)=(ax^(3))/(3)-3ax^(2) +a^(2)x при каких значениях параметра

Чтобы найти точку максимума функции, мы должны найти значение x, при котором производная функции равна нулю, и это значение является точкой локального максимума. Для этого вычислим первую производную функции f(x):

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{ax^3}{3} - 3ax^2 + a^2x\right) \]

Чтобы производить дифференцирование, используем правило дифференцирования для каждого члена функции по отдельности:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{ax^3}{3}\right) - \frac{d}{dx}\left(3ax^2\right) + \frac{d}{dx}\left(a^2x\right) \]

Дифференцируя, получим:

\[ f"(x) = a \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) - 3a \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right) + a^2 \cdot \frac{d}{dx}\left(x\right) \]

Дифференцируем каждую отдельную функцию:

\[ f"(x) = a \cdot \frac{3x^2}{3} - 3a \cdot 2x + a^2 \cdot 1 \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ f"(x) = ax^2 - 6ax + a^2 \]

Теперь мы получили выражение для производной функции f(x). Чтобы найти точку максимума, приравняем производную к нулю:

\[ ax^2 - 6ax + a^2 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного корня:

\[ x = \frac{-(-6a) \pm \sqrt{(-6a)^2 - 4a^2}}{2a} \]

Упрощаем выражение:

\[ x = \frac{6a \pm \sqrt{36a^2 - 4a^2}}{2a} \]

\[ x = \frac{6a \pm \sqrt{32a^2}}{2a} \]

\[ x = \frac{6a \pm 4a\sqrt{2}}{2a} \]

Сокращаем дробь:

\[ x = 3 \pm 2\sqrt{2} \]

Таким образом, точка x = 3 + 2√2 будет точкой максимума функции f(x)=(ax^3)/3-3ax^2 +a^2x при любых значениях параметра a.