Когда тело достигнет температуры 20°С, исходя из начальной температуры 5°С, времени, требующегося для его нагрева

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для закона нагревания или охлаждения тела. Формула имеет вид:

\[T = T_0 + (T_{\infty} - T_0) \cdot e^{-kt}\]

где:
- \(T\) - температура тела через время \(t\);
- \(T_0\) - начальная температура тела;
- \(T_{\infty}\) - окружающая температура;
- \(k\) - коэффициент охлаждения или нагревания.

Для начала найдем значение \(k\) по известной информации. Мы знаем, что тело достигает температуры 20°С, исходя из начальной температуры 5°С, также мы знаем окружающую температуру 25°С. Подставим эти значения в формулу:

\[20 = 5 + (25 - 5) \cdot e^{-k \cdot t}\]

Упростим это уравнение:

\[15 = 20 \cdot e^{-k \cdot t}\]

После деления обеих сторон на 20 получаем:

\[0.75 = e^{-k \cdot t}\]

Для того чтобы избавиться от экспоненты, применим натуральный логарифм к обеим сторонам уравнения:

\[\ln(0.75) = -k \cdot t\]

Теперь найдем значение \(k\):

\[k = -\frac{\ln(0.75)}{t}\]

Таким образом, мы нашли значения \(k\). Теперь давайте рассмотрим, как найти время, необходимое для нагрева до 10°С.

Подставим известные значения в начальное уравнение:

\[10 = 5 + (25 - 5) \cdot e^{-k \cdot t}\]

Упростим:

\[5 = 20 \cdot e^{-k \cdot t}\]

Поделим обе стороны на 20:

\[0.25 = e^{-k \cdot t}\]

Используем натуральный логарифм:

\[\ln(0.25) = -k \cdot t\]

Теперь найдем время \(t\):

\[t = -\frac{\ln(0.25)}{k}\]

Подставим значение \(k\) из предыдущего вычисления:

\[t = -\frac{\ln(0.25)}{-\frac{\ln(0.75)}{t}}\]

Упростим:

\[t = \frac{\ln(0.25)t}{\ln(0.75)}\]

Теперь осталось только вычислить конечный результат, подставив известные значения в данное выражение:

\[t = \frac{\ln(0.25) \cdot n}{\ln(0.75)}\]

Таким образом, мы получили решение задачи. Чтобы определить время, необходимое для нагрева до 10°С за \(n\) минут, используйте формулу \(t = \frac{\ln(0.25) \cdot n}{\ln(0.75)}\).