Когда переменная принимает какие значения, дробь 21t3 - 5 черта 4t2 + 12t + 9 становится бессмысленной?

Чтобы определить, при каких значениях переменной дробь \(21t^3 - 5\over4t^2 + 12t + 9\) становится бессмысленной, нужно найти значения \(t\), при которых знаменатель равен нулю. Когда знаменатель обращается в ноль, дробь становится неопределенной или бессмысленной, так как деление на ноль невозможно.

Для этого нужно решить уравнение \(4t^2 + 12t + 9 = 0\) и найти корни этого уравнения. Обозначим уравнение как \(f(t) = 4t^2 + 12t + 9 = 0\).

Мы можем использовать квадратную формулу для нахождения корней уравнения. Формула имеет вид:

\[t = {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \over 2a}\]

В нашем случае, параметры \(a\), \(b\) и \(c\) равны:

\[a = 4, b = 12, c = 9\]

Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[t = {-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \over 2 \cdot 4}\]

Выполняя вычисления, мы получаем два значения \(t\):

\[t_1 = {-12 + \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \over 2 \cdot 4}\]
\[t_2 = {-12 - \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \over 2 \cdot 4}\]

Теперь, когда мы знаем значения \(t\), полученные из решения уравнения \(4t^2 + 12t + 9 = 0\), нужно проверить, при каких из этих значений знаменатель \(4t^2 + 12t + 9\) обращается в ноль.

Найдем значение знаменателя для каждого \(t\):

Для \(t_1\):
\[4t_1^2 + 12t_1 + 9 = 4 \cdot \left({-12 + \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \over 2 \cdot 4}}\right)^2 + 12 \cdot {-12 + \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \over 2 \cdot 4} + 9\]
\[4t_1^2 + 12t_1 + 9 = 4 \cdot \left({-12 + \sqrt{144 - 144}} \over 8}\right)^2 + 12 \cdot {-12 + \sqrt{144 - 144} \over 8} + 9\]
\[4t_1^2 + 12t_1 + 9 = 4 \cdot \left({-12}\over 8}\right)^2 + 12 \cdot {-12 \over 8} + 9\]
\[4t_1^2 + 12t_1 + 9 = 4 \cdot \left({-3 \over 2}\right)^2 + 12 \cdot {-3 \over 2} + 9\]
\[4t_1^2 + 12t_1 + 9 = 4 \cdot {9 \over 4} - 18 + 9\]
\[4t_1^2 + 12t_1 + 9 = 9 - 18 + 9\]
\[4t_1^2 + 12t_1 + 9 = 0\]

Аналогично, для \(t_2\) получим:

\[4t_2^2 + 12t_2 + 9 = 4 \cdot \left({-12 - \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \over 2 \cdot 4}}\right)^2 + 12 \cdot {-12 - \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9} \over 2 \cdot 4} + 9\]
\[4t_2^2 + 12t_2 + 9 = 4 \cdot \left({-12 - \sqrt{144 - 144}} \over 8}\right)^2 + 12 \cdot {-12 - \sqrt{144 - 144} \over 8} + 9\]
\[4t_2^2 + 12t_2 + 9 = 4 \cdot \left({-12}\over 8}\right)^2 + 12 \cdot {-12 \over 8} + 9\]
\[4t_2^2 + 12t_2 + 9 = 4 \cdot \left({-3 \over 2}\right)^2 + 12 \cdot {-3 \over 2} + 9\]
\[4t_2^2 + 12t_2 + 9 = 4 \cdot {9 \over 4} - 18 + 9\]
\[4t_2^2 + 12t_2 + 9 = 9 - 18 + 9\]
\[4t_2^2 + 12t_2 + 9 = 0\]

Таким образом, при любых значениях \(t\), для которых выполняется уравнение \(4t^2 + 12t + 9 = 0\), дробь \(21t^3 - 5\over4t^2 + 12t + 9\) становится бессмысленной, так как знаменатель обращается в ноль.