Когда |a| равно 1, |b| равно 2 и угол между векторами a и b равен 60, какие из следующих пар векторов образуют острый

Для того, чтобы определить, образуют ли данные векторы острый угол, нам необходимо воспользоваться свойством скалярного произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Известно, что скалярное произведение задается формулой: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), а \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - длины этих векторов.

Для начала, давайте найдем значения длин векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Исходя из условия, когда \(\|\mathbf{a}\|\) равно 1, а \(\|\mathbf{b}\|\) равно 2.

Теперь вычислим скалярное произведение для каждой пары векторов и определим угол между ними.

1) Векторы \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\):
\((\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})\)
\(= \|\mathbf{a} - \mathbf{b}\| \cdot \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta_1)\)

2) Векторы \(2\mathbf{a} - \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\):
\((2\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})\)
\(= \|(2\mathbf{a} - \mathbf{b})\| \cdot \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta_2)\)

3) Векторы \(2\mathbf{a} - \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} + 2\mathbf{b}\):
\((2\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + 2\mathbf{b})\)
\(= \|(2\mathbf{a} - \mathbf{b})\| \cdot \|\mathbf{a} + 2\mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta_3)\)

4) Векторы \(2\mathbf{a} - \mathbf{b}\) и \(2\mathbf{a} + \mathbf{b}\):
\((2\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (2\mathbf{a} + \mathbf{b})\)
\(= \|(2\mathbf{a} - \mathbf{b})\| \cdot \|(2\mathbf{a} + \mathbf{b})\| \cdot \cos(\theta_4)\)

5) Векторы \(3\mathbf{a} - \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\):
\((3\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})\)
\(= \|(3\mathbf{a} - \mathbf{b})\| \cdot \|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta_5)\)

6) Векторы \(3\mathbf{a} - \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} + 2\mathbf{b}\):
\((3\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + 2\mathbf{b})\)
\(= \|(3\mathbf{a} - \mathbf{b})\| \cdot \|\mathbf{a} + 2\mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta_6)\)

Теперь, если \(|\cos(\theta_i)| < 1\) для каждого из \(i = 1,2,3,4,5,6\), то соответствующая пара векторов образует острый угол. Если \(|\cos(\theta_i)| \geq 1\) для каждого из \(i = 1,2,3,4,5,6\), то пара векторов образует прямой или тупой угол.