Катер отправился по течению из пункта а в пункт в. По достижении пункта в, катер мгновенно развернулся и вернулся

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для определения средней скорости:

\[
\text{{Средняя скорость}} = \frac{{\text{{пройденное расстояние}}}}{{\text{{потраченное время}}}}
\]

Пусть расстояние между пунктами a и в равно D километрам, а скорость катера относительно воды составляет V километров в час.

Мы знаем, что на путь из а в в катер затратил в два раза меньше времени, чем на обратный путь. Обозначим время, затраченное на путь из а в в, через t. Тогда на обратный путь катер потратил 2t времени.

На пути из а в в катер двигался по течению, поэтому его эффективная скорость увеличивается на скорость течения. То есть, скорость катера по отношению к земле на этом участке равна V + 3 км/ч.

На обратном пути катер двигался против течения. Поэтому его эффективная скорость уменьшается на скорость течения. То есть, скорость катера по отношению к земле на этом участке равна V - 3 км/ч.

Теперь мы можем рассчитать расстояние и время, затраченное на каждый отрезок.

Расстояние на пути из а в в: D км.

Время на пути из а в в: t часов.

Расстояние на обратном пути: D км.

Время на обратном пути: 2t часов.

Теперь найдем среднюю скорость на каждом отрезке:

Средняя скорость на пути из а в в:

\[
\text{{Средняя скорость}} = \frac{{D}}{{t}}
\]

Средняя скорость на обратном пути:

\[
\text{{Средняя скорость}} = \frac{{D}}{{2t}}
\]

Теперь найдем среднюю скорость за всё время движения катера. Средняя скорость за всё время равняется сумме пройденных расстояний, разделенной на сумму потраченного времени:

\[
\text{{Средняя скорость за всё время}} = \frac{{D + D}}{{t + 2t}}
\]

Упростим выражение:

\[
\text{{Средняя скорость за всё время}} = \frac{{2D}}{{3t}}
\]

Таким образом, средняя скорость катера за всё время движения равна \(\frac{{2D}}{{3t}}\).