Катер 12 км away from the upstream and 16 км away from the downstream took 5 hours to travel. If the speed of the river

Чтобы решить данную задачу, давайте введем обозначения. Пусть \(x\) - это скорость катера в статической воде, без течения реки. Также пусть \(t_1\) - время, которое катер тратит на плавание против течения реки, а \(t_2\) - время, которое он тратит на плавание по течению. Теперь давайте рассмотрим каждый этап.

При плавании против течения катер должен преодолеть расстояние 12 км. За это время, катер будет двигаться со скоростью \(x - 2\) км/ч (катер минус скорость течения). Таким образом, получаем уравнение:

\[
12 = (x - 2) \cdot t_1 \quad (1)
\]

При плавании по течению катер должен преодолеть расстояние 16 км. За это время, катер будет двигаться со скоростью \(x + 2\) км/ч (катер плюс скорость течения). Таким образом, получаем уравнение:

\[
16 = (x + 2) \cdot t_2 \quad (2)
\]

Также нам задано, что общее время плавания составляет 5 часов. То есть:

\[
t_1 + t_2 = 5 \quad (3)
\]

У нас есть три уравнения ((1), (2) и (3)), и мы можем использовать их для решения задачи. Давайте продолжим.

Для начала, найдем \(t_1\) из уравнения (1):

\[
t_1 = \frac{{12}}{{x - 2}} \quad (4)
\]

Затем найдем \(t_2\) из уравнения (2):

\[
t_2 = \frac{{16}}{{x + 2}} \quad (5)
\]

Теперь, зная \(t_1\) и \(t_2\), мы можем подставить их в уравнение (3) и решить его относительно \(x\):

\[
\frac{{12}}{{x - 2}} + \frac{{16}}{{x + 2}} = 5
\]

Приведем это уравнение к общему знаменателю и приведем его к квадратному виду:

\[
12(x + 2) + 16(x - 2) = 5(x - 2)(x + 2)
\]

Раскроем скобки:

\[
12x + 24 + 16x - 32 = 5(x^2 - 4)
\]

Сгруппируем слагаемые:

\[
28x - 8 = 5x^2 - 20
\]

Получаем квадратное уравнение:

\[
5x^2 - 28x + 12 = 0 \quad (6)
\]

Теперь мы можем решить уравнение (6), используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

Где для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) значения коэффициентов равны \(a = 5\), \(b = -28\) и \(c = 12\).

Подставляем эти значения в формулу:

\[
x = \frac{{-(-28) \pm \sqrt{{(-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}}}{{2 \cdot 5}}
\]

Упростим численное выражение внутри корня:

\[
x = \frac{{28 \pm \sqrt{{784 - 240}}}}{{10}}
\]

\[
x = \frac{{28 \pm \sqrt{{544}}}}{{10}}
\]

\[
x = \frac{{28 \pm 2\sqrt{{136}}}}{{10}}
\]

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[
x = \frac{{14 \pm \sqrt{{136}}}}{{5}}
\]

Таким образом, скорость катера может быть найдена как:

\[
x_1 = \frac{{14 + \sqrt{{136}}}}{{5}}
\]

\[
x_2 = \frac{{14 - \sqrt{{136}}}}{{5}}
\]

Итак, мы получили два возможных значения скорости катера.