Какую замену мы можем сделать, чтобы упростить уравнение 3(x-7)^4+(x-7)^2-8=0?

Что такое \(x-7\)?
\((x-7)\) — это выражение, которое представляет собой разность переменной \(x\) и числа 7.

Теперь давайте рассмотрим наше уравнение:

\[3(x-7)^4 + (x-7)^2 - 8 = 0\]

Обратите внимание, что в данном уравнении у нас есть два одинаковых множителя \((x-7)\). Для упрощения этого уравнения мы можем сделать замену и представить этот множитель как новую переменную \(y\).

Пусть \(y = (x-7)\), тогда наше уравнение примет следующий вид:

\[3y^4 + y^2 - 8 = 0\]

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной \(y\), что значительно упрощает его решение.

Давайте решим это уравнение:

\[3y^4 + y^2 - 8 = 0\]

Для начала, запишем его в стандартной форме:

\[3y^4 + y^2 - 8 = 0\]

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно \(y^2\). Для решения квадратных уравнений нам понадобится использовать квадратное уравнение. Обозначим \(y^2\) как \(z\):

\[3z^2 + z - 8 = 0\]

Далее, решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

\[z = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

В нашем случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) для квадратного уравнения \(3z^2 + z - 8 = 0\) равны: \(a = 3\), \(b = 1\) и \(c = -8\).

Теперь подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

\[z = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8)}}}}{{2 \cdot 3}}\]

Далее, решим это уравнение и найдём \(z\). Ответ будет являться двумя корнями, поскольку мы используем знаки плюс и минус:

\[z_1 = \frac{{-1 + \sqrt{{1 + 96}}}}{{6}}\]

\[z_2 = \frac{{-1 - \sqrt{{1 + 96}}}}{{6}}\]

После подсчетов, получим:

\[z_1 = \frac{{-1 + \sqrt{{97}}}}{{6}}\]

\[z_2 = \frac{{-1 - \sqrt{{97}}}}{{6}}\]

Теперь, у нас есть два значения для \(z\), а мы хотим найти значения для \(y\). Для этого, мы вернемся к нашему предыдущему обозначению: \(y = (x-7)\).

Заметим, что \(y^2 = z\). Подставим значения \(z_1\) и \(z_2\) в это равенство и решим его относительно \(y\):

\[y_1 = \sqrt{{z_1}} = \sqrt{{\frac{{-1 + \sqrt{{97}}}}{{6}}}}\]

\[y_2 = \sqrt{{z_2}} = \sqrt{{\frac{{-1 - \sqrt{{97}}}}{{6}}}}\]

Примечание: Возможно, вы заметили, что в нашем исходном уравнении есть еще два множителя \((x-7)\). При подстановке значений \(y_1\) и \(y_2\) вместо \((x-7)\), получится более сложное выражение, которое мы можем упростить дополнительными шагами. Однако, я пропущу этот шаг для краткости ответа и продолжу сразу с финальным решением.

Теперь, чтобы получить значения для \(x\), мы должны решить уравнения \(y_1 = (x-7)\) и \(y_2=(x-7)\) относительно \(x\):

\[y_1 = \sqrt{{\frac{{-1 + \sqrt{{97}}}}{{6}}}} = (x-7)\]

\[y_2 = \sqrt{{\frac{{-1 - \sqrt{{97}}}}{{6}}}} = (x-7)\]

Опять же, для краткости, я пропущу шаги решения и дам ответ в итоговом виде:

\[x_1 = 7 + \sqrt{{\frac{{-1 + \sqrt{{97}}}}{{6}}}}\]

\[x_2 = 7 + \sqrt{{\frac{{-1 - \sqrt{{97}}}}{{6}}}}\]

Таким образом, заменой \(y = (x-7)\) мы смогли упростить уравнение и получить его решение в виде \(x_1\) и \(x_2\).