Какую задачу необходимо выполнить при перемещении материальной точки на участке от 1 до 2 метров под воздействием силы

Нам задано перемещение материальной точки на участке от 1 до 2 метров под воздействием силы \( F(x) = x \). Наша задача будет состоять в определении работы силы \( F \), совершенной при перемещении точки на данном участке.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для определения работы, которая выглядит следующим образом:

\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx \]

где \( W \) - работа, \( F(x) \) - сила, \( x_1 \) - начальное положение точки, \( x_2 \) - конечное положение точки, а интеграл обозначает вычисление площади под кривой \( F(x) \) на заданном участке.

В данном случае, у нас задана функция силы \( F(x) = x \) и участок перемещения от 1 до 2 метров, поэтому мы можем подставить эти значения в нашу формулу:

\[ W = \int_{1}^{2} x \, dx \]

Чтобы вычислить интеграл, мы используем правило интегрирования функции \( x \), которое гласит:

\[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.

Применяя это правило к нашему интегралу, получаем:

\[ W = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^2 \, dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ W = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{2} \]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ W = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \cdot 2^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 \right) \]

Упрощаем:

\[ W = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) \]

Складываем дроби:

\[ W = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3} \]

Домножаем числитель на числитель, и знаменатель на 2:

\[ W = \frac{7}{6} \]

Таким образом, работа силы \( F(x) = x \), совершенная при перемещении точки на участке от 1 до 2 метров, равна \( \frac{7}{6} \) единиц работы.