Какую угловую скорость вращения имеет тело заданной формы с массой m и радиусом r (или длиной l), вращающееся вокруг

На тело заданной формы с массой \(m\) и радиусом \(r\) (или длиной \(l\)), вращающееся вокруг своей главной оси симметрии по закону \(\varphi = a + bt + ct^2\) в момент времени \(t_0\)? Для решения этой задачи мы используем некоторые основные понятия механики.

1. Угловая скорость (\(\omega\)) тела определяется как производная угла \(\varphi\) по времени \(t\). Для нахождения угловой скорости, найдем производную от функции \(\varphi\) по \(t\):
\[ \omega = \frac{{d\varphi}}{{dt}} = b + 2ct \]

2. Угловое ускорение (\(\alpha\)) тела определяется как производная угловой скорости \(\omega\) по времени \(t\). Для нахождения углового ускорения, найдем производную от функции \(\omega\) по \(t\):
\[ \alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}} = 2c \]

3. Кинетическая энергия (\(E_k\)) тела, вращающегося вокруг своей главной оси симметрии, определяется как половина произведения момента инерции (\(I\)) тела и квадрата угловой скорости (\(\omega^2\)). Момент инерции тела вращения определяется его формой и массой. Для нахождения кинетической энергии, надо сначала определить момент инерции:
\[ I = m \cdot r^2 \]
Затем, подставим значение угловой скорости \(\omega\):
\[ E_k = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot r^2 \cdot (\omega^2) \]

4. Главный момент внешних сил (\(M\)) действующих на тело равен произведению момента инерции (\(I\)) тела и углового ускорения (\(\alpha\)).
\[ M = I \cdot \alpha = m \cdot r^2 \cdot \alpha \]

Таким образом, чтобы определить угловую скорость, угловое ускорение, кинетическую энергию и главный момент внешних сил для тела заданной формы, вращающегося вокруг своей главной оси симметрии по заданному закону вращения, нужно знать значения параметров \(a\), \(b\), \(c\), \(m\) и \(r\) (или \(l\)) и подставить их в соответствующие выражения.

Помните, что эти выражения верны только при условии, что законы вращения заданы аналитическими функциями и прямолинейные участки в их графиках отсутствуют.