Какую точку нужно найти на отрезке (п/2, п), которая представляет минимум функции y=4sinx+2(5-2x)cos x

Чтобы найти точку на данном отрезке, где функция \(y = 4\sin(x) + 2(5-2x)\cos(x)\) достигает минимума, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y\) по \(x\). Для этого мы возьмем производные каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования для функций суммы и произведения:

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dx} (4\sin(x)) &= 4\cos(x) \\
\frac {d}{dx} (2(5-2x)\cos(x)) &= 2\cos(x)(-2) + 2(5-2x)(-\sin(x)) \\
&= -4\cos(x) + 4x\sin(x) - 20\sin(x)
\end{align*}
\]

Шаг 2: Теперь, задавшись целью найти точку, где производная функции равна нулю, мы приравниваем первую производную к нулю и решаем уравнение относительно \(x\):

\[
4\cos(x) - 4\cos(x) + 4x\sin(x) - 20\sin(x) = 0
\]

Сокращая подобные слагаемые, получаем:

\[
4x\sin(x) - 20\sin(x) = 0
\]

\[
4x\sin(x) = 20\sin(x)
\]

\[
x = 5
\]

Шаг 3: Мы нашли \(x = 5\), но нам нужно найти соответствующую точку на отрезке \((\frac{\pi}{2}, \pi)\). Для этого заменим \(x\) на \(5\) в исходной функции:

\[
y = 4\sin(5) + 2(5-2(5))\cos(5) = 4\sin(5) + 2(5-10)\cos(5)
\]

\[
y = 4\sin(5) + 2(-5)\cos(5) = 4\sin(5) - 10\cos(5)
\]

Получаем \(y \approx -9.64\).

Таким образом, точка \((5, -9.64)\) на отрезке \((\frac{\pi}{2}, \pi)\) представляет минимум функции \(y = 4\sin(x) + 2(5-2x)\cos(x)\).