Какую точку функции y=x^3-6,5x^2-56x+8 нужно найти?

Чтобы найти точку функции \(y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8\), нужно найти значение \(x\), при котором функция достигает своего экстремума. Экстремум может быть либо минимумом, либо максимумом.

Для начала, найдем первую производную функции по \(x\). Первая производная функции \(y" = \frac{dy}{dx}\) показывает, как меняется функция по мере изменения \(x\):

\[y" = 3x^2 - 13x - 56\]

Далее, приравняем \(y"\) к нулю и найдем корни этого уравнения:

\[3x^2 - 13x - 56 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или формулы дискриминанта.

Уравнение можно факторизовать следующим образом:

\[(x - 7)(3x + 8) = 0\]

Отсюда получаем два корня:

\[x_1 = 7\]
\[x_2 = -\frac{8}{3}\]

Теперь, чтобы определить, является ли каждая точка экстремумом (минимумом или максимумом), проанализируем вторую производную. Вторая производная функции \(y"" = \frac{d^2y}{dx^2}\) показывает, как изменяется скорость изменения функции:

\[y"" = 6x - 13\]

Подставим значения \(x_1\) и \(x_2\) во вторую производную:

\[y""(x_1) = 6 \cdot 7 - 13 = 29\]
\[y""(x_2) = 6 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) - 13 = -49\]

Теперь, когда у нас есть значения второй производной, мы можем определить, является ли каждая точка экстремумом. Если \(y""\) больше нуля, то точка является локальным минимумом. Если \(y""\) меньше нуля, то точка является локальным максимумом.

В нашем случае, \(y""(x_1) = 29 > 0\), поэтому точка \(x_1 = 7\) является локальным минимумом. А \(y""(x_2) = -49 < 0\), поэтому точка \(x_2 = -\frac{8}{3}\) является локальным максимумом.

Таким образом, мы нашли две точки функции \(y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8\): локальный минимум в точке \(x_1 = 7\) и локальный максимум в точке \(x_2 = -\frac{8}{3}\).