Какую степень одного числа или выражение можно использовать для представления выражения

Чтобы представить выражение \(\left(\frac{1}{9}\right) \cdot \left(\frac{8}{27}\right) \cdot \left(\frac{16}{48}\right) \cdot \left(\frac{81}{256}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)\) в виде одной степени числа или выражения, мы можем упростить дроби и затем произвести необходимые вычисления.

Давайте приступим к решению шаг за шагом:

1) Сократим дроби:
\(\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2\)
\(\frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3\)
\(\frac{16}{48} = \left(\frac{1}{3}\right)^4\)
\(\frac{81}{256} = \left(\frac{3}{4}\right)^4\)

Теперь мы можем переписать выражение следующим образом:
\(\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right) \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{3}\right)^4\right) \cdot \left(\left(\frac{3}{4}\right)^4\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)\)

2) Объединим дроби с одинаковыми основаниями в одну степень. Например, \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4\) можно записать как \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2+4}\). Делая то же самое для других дробей, мы получаем:
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2+4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)\)

3) Вычислим степени:
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2+4} = \left(\frac{1}{3}\right)^6\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3\)
\(\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \left(\frac{3}{4}\right)^4\)

Теперь наше выражение выглядит так:
\(\left(\frac{1}{3}\right)^6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)\)

4) Упростим те дроби, которые можно упростить:
\(\left(\frac{1}{3}\right)^6 = \frac{1^6}{3^6} = \frac{1}{3^6}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{3^3}\)
\(\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4}\)

Теперь наше выражение принимает следующий вид:
\(\frac{1}{3^6} \cdot \frac{8}{3^3} \cdot \frac{3^4}{4^4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)\)

5) Умножим числители и знаменатели вместе:
\(\frac{1 \cdot 8 \cdot 3^4}{3^6 \cdot 3^3 \cdot 4^4} \cdot \frac{1}{2}\)
\(= \frac{8 \cdot 3^4}{3^9 \cdot 4^4} \cdot \frac{1}{2}\)

6) Дальше можем обобщить 3 и 8:
\(\frac{24}{3^5 \cdot 4^4} \cdot \frac{1}{2}\)
\(= \frac{24 \cdot 1}{2 \cdot 3^5 \cdot 4^4}\)
\(= \frac{12}{3^5 \cdot 4^4}\)

Таким образом, выражение \(\left(\frac{1}{9}\right) \cdot \left(\frac{8}{27}\right) \cdot \left(\frac{16}{48}\right) \cdot \left(\frac{81}{256}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)\) может быть представлено в виде \(\frac{12}{3^5 \cdot 4^4}\).