Какую разницу в прогрессии нужно выбрать, чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным, если утроить

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала выразить каждый член прогрессии в зависимости от разницы.

Пусть \(d\) - это разница между членами прогрессии. Тогда:

Первый член: \(a_1\)
Второй член: \(a_1 + d\)
Третий член: \(a_1 + 2d\)
Четвертый член: \(a_1 + 3d\)
Пятый член: \(a_1 + 4d\)

Мы знаем, что утроили второй член и добавили его к четвертому члену, получив некоторую сумму. Давайте это выразим в уравнение:

\(3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = S\), где \(S\) - это сумма.

Упростим это уравнение:

\(4a_1 + 6d = S\)

Теперь нам нужно найти произведение третьего и пятого членов, которое можно выразить как:

\((a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 4d)\)

Давайте перепишем это произведение:

\(a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\)

Нам нужно найти такое значение разницы \(d\), при котором произведение будет минимальным.

Мы можем использовать два известных факта о произведениях. Во-первых, квадрат любого числа всегда неотрицателен. Во-вторых, произведение будет минимальным, когда оба множителя находятся на равном расстоянии от среднего значения.

Теперь мы можем сделать вывод, что \(a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\) будет минимальным, когда \(a_1 + 3d\) находится посередине между \(a_1 + 2d\) и \(a_1 + 4d\). Другими словами, разница между \(a_1 + 2d\) и \(a_1 + 4d\) должна быть равной разнице между \(a_1 + 3d\) и \(a_1 + 2d\).

Вычислим эти разницы:

\(a_1 + 4d - (a_1 + 2d) = 2d\)
\(a_1 + 3d - (a_1 + 2d) = d\)

Таким образом, мы должны выбрать разницу в прогрессии равной \(2d\), чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным.