Какую разницу в прогрессии нужно выбрать, чтобы произведение третьего и пятого

Question

Алгебра: Какую разницу в прогрессии нужно выбрать, чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным, если утроить второй член и добавить его к четвертому члену, получив

Misticheskiy_Lord · Accepted Answer

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала выразить каждый член прогрессии в зависимости от разницы.

Пусть

d

- это разница между членами прогрессии. Тогда:

Первый член:

a_{1}

Второй член:

a_{1} + d

Третий член:

a_{1} + 2 d

Четвертый член:

a_{1} + 3 d

Пятый член:

a_{1} + 4 d

Мы знаем, что утроили второй член и добавили его к четвертому члену, получив некоторую сумму. Давайте это выразим в уравнение:

3 (a_{1} + d) + (a_{1} + 3 d) = S

, где

S

- это сумма.

Упростим это уравнение:

4 a_{1} + 6 d = S

Теперь нам нужно найти произведение третьего и пятого членов, которое можно выразить как:

(a_{1} + 2 d) \cdot (a_{1} + 4 d)

Давайте перепишем это произведение:

a_{1}^{2} + 6 a_{1} d + 8 d^{2}

Нам нужно найти такое значение разницы

d

, при котором произведение будет минимальным.

Мы можем использовать два известных факта о произведениях. Во-первых, квадрат любого числа всегда неотрицателен. Во-вторых, произведение будет минимальным, когда оба множителя находятся на равном расстоянии от среднего значения.

Теперь мы можем сделать вывод, что

a_{1}^{2} + 6 a_{1} d + 8 d^{2}

будет минимальным, когда

a_{1} + 3 d

находится посередине между

a_{1} + 2 d

и

a_{1} + 4 d

. Другими словами, разница между

a_{1} + 2 d

и

a_{1} + 4 d

должна быть равной разнице между

a_{1} + 3 d

и

a_{1} + 2 d

.

Вычислим эти разницы:

a_{1} + 4 d - (a_{1} + 2 d) = 2 d

a_{1} + 3 d - (a_{1} + 2 d) = d

Таким образом, мы должны выбрать разницу в прогрессии равной

2 d

, чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным.

Какую разницу в прогрессии нужно выбрать, чтобы произведение третьего и пятого членов было минимальным, если утроить

Misticheskiy_Lord

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!