Какую начальную скорость должен иметь камешек, чтобы время скольжения камня и льда с горизонтальной плоскости под углом

Для решения данной задачи, нам необходимо располагать знаниями о движении по наклонной плоскости и о законах динамики. Для начала обозначим некоторые величины:

\(v\) - начальная скорость камешка;
\(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с\(^2\));
\(h\) - высота падения (равна 1 метру);
\(\theta\) - угол наклона плоскости (равен 30 градусам);
\(t\) - время скольжения камешка и льда, которое нам нужно сделать одинаковым;
\(μ\) - коэффициент трения между камешком и плоскостью.

Первым шагом найдем время падения камешка с высоты \(h\) до плоскости. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} m v^2 = mgh,\]

где \(m\) - масса камешка. Массу камешка мы не знаем, но заметим, что масса входит в оба члена уравнения и сократится, поэтому мы можем это не учитывать. Тогда можно выразить скорость \(v\) следующим образом:

\[v = \sqrt{2gh}.\]

Теперь мы можем выяснить, каково время падения камешка, используя уравнение движения на наклонной плоскости. В проекции на горизонтальную плоскость у нас будет замечательное тождество: вертикальная составляющая начальной скорости (которая равна \(v \sin(\theta)\)) будет компенсироваться вертикальной составляющей ускорения свободного падения:

\[v \sin(\theta) - gt = 0.\]

Отсюда получаем:

\[t = \frac{v \sin(\theta)}{g} = \frac{\sqrt{2gh} \cdot \sin(\theta)}{g}.\]

Теперь наша задача состоит в том, чтобы убедиться, что время падения камешка и льда одинаково. Для этого нужно рассмотреть случай с льдом. Если начальная скорость льда равна нулю, то формула для определения времени скольжения льда будет следующая:

\[t" = \frac{2h}{g \sin(\theta)}.\]

Так как мы хотим, чтобы \(t = t"\), подставим значения выражения для \(t\) и приравняем их:

\[\frac{\sqrt{2gh} \cdot \sin(\theta)}{g} = \frac{2h}{g \sin(\theta)}.\]

Переставляя и сокращая, получим:

\[\sqrt{2gh} \cdot \sin(\theta) = 2h \cdot \sin(\theta).\]

Далее, делим обе части уравнения на \(\sin(\theta)\):

\[\sqrt{2gh} = 2h.\]

Возводя обе части в квадрат, получаем итоговое уравнение:

\[2gh = 4h^2.\]

Теперь осталось найти значение начальной скорости \(v\). Разделим обе части уравнения на 2h:

\[g = 2h.\]

Здесь мы знаем значения \(g\) и \(h\), поэтому можем выразить \(v\):

\[v = \sqrt{4h \cdot 9.8 m/s^2} = \sqrt{39.2h}.\]

Таким образом, начальная скорость камешка должна быть равна \(\sqrt{39.2}\) м/с, чтобы время скольжения камня и льда было одинаковым при данных условиях.