Какую начальную скорость должен иметь камешек, чтобы время скольжения камня и льда с горизонтальной плоскости под углом

Для решения данной задачи, нам необходимо располагать знаниями о движении по наклонной плоскости и о законах динамики. Для начала обозначим некоторые величины:

$v$ - начальная скорость камешка;
$g$ - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с${}^2$);
$h$ - высота падения (равна 1 метру);
$\theta$ - угол наклона плоскости (равен 30 градусам);
$t$ - время скольжения камешка и льда, которое нам нужно сделать одинаковым;
$\mu$ - коэффициент трения между камешком и плоскостью.

Первым шагом найдем время падения камешка с высоты $h$ до плоскости. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:

$$\frac{1}{2}m{v}^2=mgh,$$

где $m$ - масса камешка. Массу камешка мы не знаем, но заметим, что масса входит в оба члена уравнения и сократится, поэтому мы можем это не учитывать. Тогда можно выразить скорость $v$ следующим образом:

$$v=\sqrt{2gh}.$$

Теперь мы можем выяснить, каково время падения камешка, используя уравнение движения на наклонной плоскости. В проекции на горизонтальную плоскость у нас будет замечательное тождество: вертикальная составляющая начальной скорости (которая равна $v\sin (\theta )$) будет компенсироваться вертикальной составляющей ускорения свободного падения:

$$v\sin (\theta )-gt=0.$$

Отсюда получаем:

$$t=\frac{v\sin (\theta )}{g}=\frac{\sqrt{2gh}\cdot \sin (\theta )}{g}.$$

Теперь наша задача состоит в том, чтобы убедиться, что время падения камешка и льда одинаково. Для этого нужно рассмотреть случай с льдом. Если начальная скорость льда равна нулю, то формула для определения времени скольжения льда будет следующая:

$$t"=\frac{2h}{g\sin (\theta )}.$$

Так как мы хотим, чтобы $t=t"$, подставим значения выражения для $t$ и приравняем их:

$$\frac{\sqrt{2gh}\cdot \sin (\theta )}{g}=\frac{2h}{g\sin (\theta )}.$$

Переставляя и сокращая, получим:

$$\sqrt{2gh}\cdot \sin (\theta )=2h\cdot \sin (\theta ).$$

Далее, делим обе части уравнения на $\sin (\theta )$:

$$\sqrt{2gh}=2h.$$

Возводя обе части в квадрат, получаем итоговое уравнение:

$$2gh=4h^2.$$

Теперь осталось найти значение начальной скорости $v$. Разделим обе части уравнения на 2h:

$$g=2h.$$

Здесь мы знаем значения $g$ и $h$, поэтому можем выразить $v$:

$$v=\sqrt{4h\cdot 9.8m/s^2}=\sqrt{39.2h}.$$

Таким образом, начальная скорость камешка должна быть равна $\sqrt{39.2}$ м/с, чтобы время скольжения камня и льда было одинаковым при данных условиях.