Какую максимальную скорость может достичь точка, движущаяся по закону прямолинейного движения s=-1/3t^3+3t^2+5t+3?

Для определения максимальной скорости точки, движущейся по закону прямолинейного движения \(s = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 5t + 3\), нам необходимо найти мгновенную скорость, а затем найти момент времени, когда эта скорость будет максимальной.

Для начала, найдем производную функции \(s\) по времени \(t\), чтобы получить скорость \(v(t)\):
\[
v(t) = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(-\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 5t + 3)
\]

Чтобы найти производную по времени для каждого члена функции \(s(t)\), применим правила дифференцирования по отдельности.

Производная по времени для первого члена, \(-\frac{1}{3}t^3\), равна:
\[
\frac{{d}}{{dt}}(-\frac{1}{3}t^3) = -t^2
\]

Производная по времени для второго члена, \(3t^2\), равна:
\[
\frac{{d}}{{dt}}(3t^2) = 6t
\]

Производная по времени для третьего члена, \(5t\), равна:
\[
\frac{{d}}{{dt}}(5t) = 5
\]

Производная по времени для четвертого члена, \(3\), равна нулю, поскольку это постоянная.

Теперь соберем все вместе, чтобы получить производную скорости \(v(t)\):
\[
v(t) = -t^2 + 6t + 5
\]

Чтобы определить максимальную скорость, нам нужно найти экстремумы функции \(v(t)\). Для этого найдем моменты времени, когда производная \(v"(t)\) равна нулю:
\[
v"(t) = \frac{{d}}{{dt}}(-t^2 +6t + 5) = -2t + 6
\]

Решим уравнение \(-2t + 6 = 0\) чтобы найти момент времени:
\[
-2t + 6 = 0
\]

Перенесем \(6\) вправо и разделим на \(-2\):
\[
-2t = -6 \quad \Rightarrow \quad t = 3
\]

Таким образом, максимальная скорость будет достигаться в момент времени \(t = 3\). Чтобы найти это значение скорости, подставим \(t = 3\) в уравнение скорости \(v(t)\):
\[
v(3) = -(3)^2 + 6(3) + 5
\]

Выполняя вычисления, получим:
\[
v(3) = -9 + 18 + 5 = 14
\]

Таким образом, максимальная скорость, которую может достичь точка, движущаяся по данному закону прямолинейного движения, равна \(14\) единиц скорости.