Какую максимальную прибыль магазин может получить в конце распродажи, если стоимость товара и доход заданы функциями

Чтобы определить максимальную прибыль магазина в конце распродажи, мы должны определить точку, в которой разница между доходом и стоимостью товара будет наибольшей. Для этого нам нужно найти точку экстремума функции прибыли.

Функция прибыли определяется как разность между доходом и стоимостью товара, то есть:

\[P(x) = g(x) - f(x)\]

где \(P(x)\) - функция прибыли, \(g(x)\) - функция дохода, \(f(x)\) - функция стоимости товара.

Для начала, давайте найдем производные этих функций. Для функции дохода \(g(x)\) первой и второй производные будут:

\[g"(x) = 7,390 - 0,0018x\]
\[g""(x) = -0,0018\]

Аналогично, для функции стоимости \(f(x)\) первая и вторая производные будут:

\[f"(x) = 2,515 - 0,0003x\]
\[f""(x) = -0,0003\]

Теперь найдем первую производную функции прибыли \(P(x)\):

\[P"(x) = g"(x) - f"(x) = (7,390 - 0,0018x) - (2,515 - 0,0003x) = 4,875 - 0,0015x\]

Затем найдем вторую производную функции прибыли:

\[P""(x) = -0,0015\]

Теперь давайте решим уравнение \(P"(x) = 0\) для нахождения точки экстремума функции прибыли.

\[4,875 - 0,0015x = 0\]

\[0,0015x = 4,875\]

\[x = \frac{4,875}{0,0015}\]

\[x \approx 3250\]

Таким образом, для достижения максимальной прибыли магазину на конец распродажи следует продавать около 3250 товаров.

Для проверки этого ответа, давайте найдем вторую производную функции прибыли \(P(x)\) и проверим знак \(P""(x)\) в окрестности точки \(x = 3250\).

Мы уже вычислили, что \(P""(x) = -0,0015\). Это отрицательное значение, поэтому функция прибыли будет достигать максимума при \(x = 3250\).

Теперь, чтобы найти максимальную прибыль, положим \(x = 3250\) в функцию прибыли \(P(x)\):

\[P(3250) = g(3250) - f(3250)\]

\[P(3250) = (7,390 \cdot 3250 - 0,0009 \cdot 3250^2) - (2,515 \cdot 3250 - 0,00015 \cdot 3250^2)\]

Вычисляя это выражение, мы найдем значение максимальной прибыли магазина.