Какую дробь нужно найти, если при добавлении 1 к числителю и 2 к знаменателю она не меняется? И если при добавлении

Давайте начнем с первой части задачи. Мы ищем дробь, при которой при добавлении 1 к числителю и 2 к знаменателю она не меняется.

Пусть наша искомая дробь имеет числитель \(a\) и знаменатель \(b\). Тогда мы можем записать это как уравнение:

\(\frac{a+1}{b+2} = \frac{a}{b}\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем убрать дроби, умножив обе части на \(b(b+2)\):

\(a(b(b+2)) = (a+1)b\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(ab(b+2) = ab + b\)

\(ab^2 + 2ab = ab + b\)

Теперь давайте решим это уравнение. Вынесем \(ab\) налево, а все остальные члены на право:

\(ab^2 + 2ab - ab - b = 0\)

Просим помощи у друзей-помощников повинтовавшись на запомненный способ решения, получаем:

\(ab^2 + ab - b - 2ab = 0\)

\(ab^2 - ab - b = 0\)

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно переменной \(b\). Давайте решим его, используя квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае:

\(a = a\),

\(b = -a\),

\(c = -b\)

Используя формулу дискриминанта, мы получим:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(D = (-a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-b)\)

\(D = a^2 + 4ab\)

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта, мы можем рассмотреть три возможные ситуации:

1) Если \(D\) равно нулю, у нас есть только одно решение.

2) Если \(D\) положительное, у нас есть два различных решения.

3) Если \(D\) отрицательное, у нас нет решений на множестве действительных чисел.

С учетом этих трех ситуаций, мы можем дать ответ на задачу. Однако, для того чтобы продолжить решение задачи, мы должны узнать конкретные значения числителя и знаменателя.

Теперь переходим ко второй части задачи. Мы ищем дробь, которая при добавлении 2 к числителю и вычитании 1 из знаменателя увеличивается в 6 раз.

Пусть наша искомая дробь снова имеет числитель \(a\) и знаменатель \(b\). Тогда мы можем записать это как уравнение:

\(\frac{a+2}{b-1} = 6 \cdot \frac{a}{b}\)

Упростим это уравнение:

\(\frac{a+2}{b-1} = \frac{6a}{b}\)

Распишем обе дроби:

\(\frac{a}{b} + \frac{2}{b-1} = \frac{6a}{b}\)

Перейдем к умножению на \(b(b-1)\):

\(a(b-1) + 2b = 6ab\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\(ab - a + 2b = 6ab\)

\(2b - a = 5ab\)

\(-a + 2b = 5ab\)

Таким образом, мы получили уравнение относительно переменных \(a\) и \(b\). Однако, для того чтобы решить его, нам нужны конкретные значения числителя и знаменателя.

Пожалуйста, предоставьте эти значения, чтобы мы могли продолжить решение задачи.