Какую дробь нужно найти, если к числителю и знаменателю добавить по 2 и получить 4/7, а если вычесть из числителя

Чтобы решить данную задачу, давайте обозначим неизвестную дробь как \(\frac{x}{y}\), где \(x\) - это числитель, а \(y\) - знаменатель.

Согласно условию задачи, к числителю и знаменателю добавили по 2 и получили дробь \(\frac{4}{7}\). Мы можем записать это уравнение следующим образом:
\[ \frac{x+2}{y+2} = \frac{4}{7} \]

Также, согласно условию задачи, если из числителя и знаменателя вычесть по 1, получится дробь \(\frac{1}{4}\). Запишем это уравнение:
\[ \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{4} \]

Мы получили систему уравнений с двумя неизвестными \(\frac{x}{y}\). Давайте решим эту систему шаг за шагом, чтобы найти значения числителя и знаменателя.

Сначала умножим обе части первого уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 7(x + 2) = 4(y + 2) \]

Раскроем скобки:
\[ 7x + 14 = 4y + 8 \]

Перенесем все константы в одну сторону:
\[ 7x - 4y = 8 - 14 \]
\[ 7x - 4y = -6 \]

Теперь умножим обе части второго уравнения на 4:
\[ 4(x - 1) = y - 1 \]

Раскроем скобки:
\[ 4x - 4 = y - 1 \]

Перенесем все константы в одну сторону:
\[ 4x - y = 4 - 1 \]
\[ 4x - y = 3 \]

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[
\begin{cases}
7x - 4y = -6 \\
4x - y = 3
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему методом замещения или методом сложения (одинаково). Давайте воспользуемся методом сложения, чтобы найти значения \(x\) и \(y\).

Умножим первое уравнение на 4 и второе уравнение на 7, чтобы коэффициент \(x\) совпал в обоих уравнениях:
\[
\begin{cases}
28x - 16y = -24 \\
28x - 7y = 21
\end{cases}
\]

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
\((28x - 16y) - (28x - 7y) = (-24) - 21\)
\(-16y + 7y = -45\)
\(-9y = -45\)

Разделим обе части уравнения на -9, чтобы найти значение \(y\):
\[
\begin{align*}
-9y &= -45 \\
y &= \frac{-45}{-9} \\
y &= 5
\end{align*}
\]

Теперь, когда у нас есть значение \(y\), подставим его в любое из исходных уравнений (давайте воспользуемся вторым уравнением):
\[ 4x - 5 = 3 \]

Перенесем число 5 в другую сторону:
\[ 4x = 3 + 5 \]
\[ 4x = 8 \]

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти значение \(x\):
\[ x = \frac{8}{4} \]
\[ x = 2 \]

Таким образом, получаем, что искомая дробь равна \(\frac{x}{y} = \frac{2}{5}\). Ответ: дробь, которую нужно найти, равна \(\frac{2}{5}\).