Какие значения x удовлетворяют уравнению (x-1)/(6x+11)=(x-1)/(5x+3)?

Для начала приведем уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. У нас есть уравнение \(\frac{{x-1}}{{6x+11}} = \frac{{x-1}}{{5x+3}}\).

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, мы можем умножить обе части уравнения на произведение знаменателей. В данном случае это будет \((6x+11)(5x+3)\). Подставим это значение и приведем уравнение к виду без дробей:

\[
(6x+11)(5x+3)\cdot \frac{{x-1}}{{6x+11}} = (6x+11)(5x+3) \cdot \frac{{x-1}}{{5x+3}}
\]

Упрощаем:

\[
(x-1)(5x+3) = (x-1)(6x+11)
\]

Теперь у нас есть уравнение без дробей. Раскроем скобки:

\[
5x^2 - 2x - 3 = 6x^2 + 5x - 11
\]

Соберем все члены в одну сторону и упростим:

\[
5x^2 - 6x^2 + 5x + 2x - 3 + 11 = 0
\]

\[
-x^2 + 7x + 8 = 0
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).

В квадратном уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\) у нас есть:
\(a = -1, b = 7, c = 8\).

Теперь вычислим дискриминант:

\[
D = (7)^2 - 4(-1)(8) = 49 + 32 = 81
\]

Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас есть два действительных корня.

Используя формулу корней, найдем значения \(x\):

\[
x_1 = \frac{{-7 + \sqrt{81}}}{{2(-1)}} = \frac{{-7 + 9}}{{-2}} = \frac{2}{-2} = -1
\]

\[
x_2 = \frac{{-7 - \sqrt{81}}}{{2(-1)}} = \frac{{-7 - 9}}{{-2}} = \frac{-16}{-2} = 8
\]

Таким образом, значения \(x\), которые удовлетворяют данному уравнению, равны \(x = -1\) и \(x = 8\).