Какую цифру следует поставить вместо #, чтобы выражение 25! = 155112100433309#5984000000 было верным?

Для решения этой задачи нам потребуется разделить число 25! на число 5984000000 и проверить, в какое число получившегося частного можно вставить вместо символа #.

Количество сочетаний с повторениями, которое мы рассматриваем, можно выразить как факториал числа 25, обозначаемый как 25!. Факториал числа 25 вычисляется как произведение всех чисел от 1 до 25.

Чтобы найти пропущенную цифру, мы делим факториал числа 25 на число 5984000000:

\[
\frac{{25!}}{{5984000000}}
\]

Перед тем как начать деление, давайте посмотрим, какие общие множители есть у 5984000000 и чисел от 1 до 25, чтобы упростить вычисления и сократить дробь.

5984000000 = 2^9 * 5^5 * 149^2

Теперь мы можем записать деление и произвести его, исключив общие множители:

\[
\frac{{25!}}{{5984000000}} = \frac{{2^{22} \cdot 3^{10} \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23}}{{2^9 \cdot 5^5 \cdot 149^2}}
\]

Сокращаем общие множители:

\[
\frac{{2^{22} \cdot 3^{10} \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23}}{{2^9 \cdot 5^5 \cdot 149^2}} = 2^{13} \cdot 3^5 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23
\]

Таким образом, частное равно:

\[
2^{13} \cdot 3^5 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23
\]

Исходя из задачи, мы должны найти число, которое нужно перемножить с числом 5984000000, чтобы получить факториал числа 25. Поэтому пропущенная цифра должна быть равна:

\[
2^{13} \cdot 3^5 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23
\]

Таким образом, на месте символа # должна быть цифра 4.