Какой закон распределения у случайной величины х – размера выигрыша при пяти покупках, если фирма вкладывает в каждую

Задачу можно решить, используя закон распределения Бернулли и биномиальное распределение.

Первым шагом определим вероятность получить приз в каждой покупке.
Так как фирма вкладывает в каждую десятую единицу продукции приз, то вероятность получить приз равна 1/10, то есть \( p = \frac{1}{10} \).

Закон распределения Бернулли определяется следующей формулой:
\[ P(X = x) = p^x \cdot (1-p)^{n-x} \cdot C_n^x, \]
где \( X \) - случайная величина (выигрыш), \( x \) - количество успехов (получение приза), \( p \) - вероятность успеха (получения приза в каждой покупке), \( n \) - количество испытаний (покупок), а \( C_n^x \) - количество сочетаний из \( n \) по \( x \).

Для данной задачи \( n = 5 \) (пять покупок), а мы хотим построить функцию распределения и график, поэтому рассчитаем вероятность каждого возможного значения \( X \).

\[ P(X = 0) = p^0 \cdot (1-p)^{5-0} \cdot C_5^0 \]
\[ P(X = 1) = p^1 \cdot (1-p)^{5-1} \cdot C_5^1 \]
\[ P(X = 2) = p^2 \cdot (1-p)^{5-2} \cdot C_5^2 \]
\[ P(X = 3) = p^3 \cdot (1-p)^{5-3} \cdot C_5^3 \]
\[ P(X = 4) = p^4 \cdot (1-p)^{5-4} \cdot C_5^4 \]
\[ P(X = 5) = p^5 \cdot (1-p)^{5-5} \cdot C_5^5 \]

Отсюда мы можем получить функцию распределения:
\[ F(x) = P(X \leq x), \]
где \( F(x) \) - функция распределения, \( X \) - случайная величина (выигрыш), \( x \) - значение, до которого мы считаем вероятность.

Теперь рассчитаем числовые характеристики данной случайной величины:
1. Математическое ожидание (среднее значение):
\[ E(X) = \sum_{x=0}^{n} x \cdot P(X = x) \]

2. Дисперсия:
\[ D(X) = \sum_{x=0}^{n} (x - E(X))^2 \cdot P(X = x) \]

3. Стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии):
\[ \sigma = \sqrt{D(X)} \]

Когда у нас есть все необходимые вероятности, функция распределения и числовые характеристики, мы можем построить график функции распределения для данной случайной величины.