Какой является наибольшим коэффициентом биномиального разложения в выражении (m+n)^8 (x+y)^7?

Для решения этой задачи нам понадобится формула биномиального разложения:

\((a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1} b^1 + C(n,2)a^{n-2} b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^{n-1} + C(n,n)a^0 b^n\),

где \(C(n,k)\) - это число сочетаний, или биномиальный коэффициент, которое вычисляется по формуле:

\(C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где "!" обозначает факториал.

В нашем случае для нахождения наибольшего коэффициента мы должны рассмотреть максимальные значения показателей степеней при \(m, n, x\) и \(y\) в формуле биномиального разложения \((m+n)^8 (x+y)^7\).

В формуле \((m+n)^8\) максимальное значение показательной степени будет равно 8.

В формуле \((x+y)^7\) максимальное значение показательной степени будет равно 7.

Давайте вычислим значения всех коэффициентов, используя формулы для биномиального разложения.

У нас будет 4 варианта для коэффициента:

1. Коэффициент при \(m^8\) - здесь \(m\) будет встречаться 8 раз и \(n\) не будет встречаться. \(m^8\) соответствует одному из слагаемых \(C(8,0)m^8\). Значит, этот коэффициент равен \(C(8,0) = 1\).

2. Коэффициент при \(m^7 n\) - здесь \(m\) будет встречаться 7 раз, а \(n\) один раз. \(m^7 n\) соответствует одному из слагаемых \(C(8,1)m^7 n\). Значит, этот коэффициент равен \(C(8,1) = 8\).

3. Коэффициент при \(m^6 n^2\) - здесь \(m\) будет встречаться 6 раз, а \(n\) два раза. \(m^6 n^2\) соответствует одному из слагаемых \(C(8,2)m^6 n^2\). Значит, этот коэффициент равен \(C(8,2) = 28\).

4. Коэффициент при \(m^5 n^3\) - здесь \(m\) будет встречаться 5 раз, а \(n\) три раза. \(m^5 n^3\) соответствует одному из слагаемых \(C(8,3)m^5 n^3\). Значит, этот коэффициент равен \(C(8,3) = 56\).

Таким образом, наибольший коэффициент биномиального разложения в выражении \((m+n)^8 (x+y)^7\) равен 56, и он соответствует слагаемому при \(m^5 n^3\) в разложении.