Какой угол существует между векторами a→(8;10) и b→(−18;−2)?

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле:

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)\]

где \(|a|\) и \(|b|\) - длины векторов \(a\) и \(b\), а \(\theta\) - угол между векторами.

Начнем с вычисления длин векторов \(a\) и \(b\):

Длина вектора \(a\) (\(|a|\)) вычисляется с использованием формулы:

\[|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\]

где \(a_x\) и \(a_y\) - компоненты вектора \(a\) по оси \(x\) и \(y\) соответственно.

Подставив значения компонент вектора \(a\), мы получаем:

\[|a| = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{164} \approx 12.806\]

Аналогично, вычислим длину вектора \(b\) (\(|b|\)):

\[|b| = \sqrt{(-18)^2 + (-2)^2} = \sqrt{324 + 4} = \sqrt{328} \approx 18.110\]

Теперь у нас есть значения \(|a|\) и \(|b|\), и мы готовы вычислить скалярное произведение векторов (\(a \cdot b\)):

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)\]

Поскольку нам нужно найти значение угла \(\theta\), мы можем переставить формулу и решить ее относительно \(\cos(\theta)\):

\[\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\]

Подставив значения, мы получаем:

\[\cos(\theta) = \frac{(8 \cdot (-18)) + (10 \cdot (-2))}{\sqrt{164} \cdot \sqrt{328}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{-144 + (-20)}{12.806 \cdot 18.110}\]

\[\cos(\theta) = \frac{-164}{232.268} \approx -0.707\]

Теперь мы можем найти угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса (арко-косинуса) \(\cos^{-1}(-0.707)\):

\[\theta = \cos^{-1}(-0.707) \approx 135.000\]

Таким образом, угол между векторами \(a\) и \(b\) составляет около \(135\) градусов.