Какой угол образуется между боковым ребром правильной треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, если медиана

Для решения данной задачи нам понадобится понимание некоторых свойств правильных треугольных пирамид.

Первое свойство, которое нам потребуется, - это то, что медиана, проведенная к боковому ребру правильной треугольной пирамиды, делит это ребро пополам и образует угол в основании пирамиды, равный 30 градусов.

Также нам потребуется знание о том, что основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником, следовательно, все его углы равны 60 градусов.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

У нас дана высота пирамиды равная 2 и медиана основания равная 3. Отметим это на чертеже:

\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (-2.8,1.6) -- (2.8,1.6) -- cycle;
\draw (-2.8,1.6) -- (0,3.6);
\draw (2.8,1.6) -- (0,3.6);
\draw (0,0) -- (0,3.6);
\draw[dotted] (0,3.6) -- (0,4.6) node[right] {Высота = 2};
\draw[dotted] (0,1.6) -- (0,0) node[below] {Медиана};
\draw[dotted] (-0.7,1) arc (160:200:1.4);
\node at (-1.3,1.4) {30\degree};
\draw[dotted] (-2.8,1.6) -- (-3.7,1.6) node[left] {Основание};
\draw[dotted] (2.8,1.6) -- (3.7,1.6);
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

Теперь нам нужно найти угол \(\alpha\) между боковым ребром пирамиды и плоскостью ее основания.

Этот угол, как я упоминал ранее, равен 30 градусам.

Теперь можно нарисовать прямой угол, образованный боковым ребром \(a\) и медианой \(m\), и использовать тригонометрический закон синусов для нахождения величины синуса угла \(\alpha\).

\[
\sin(\alpha) = \frac{a}{m}
\]

\[
\sin(\alpha) = \frac{a}{3}
\]

Теперь, чтобы найти величину самого угла \(\alpha\), мы можем использовать обратную функцию синуса.

\[
\alpha = \arcsin\left(\frac{a}{3}\right)
\]

Подставим значение медианы \(m=3\) и выразим \(a\) через высоту \(h=2\) по теореме Пифагора:

\[
a = \sqrt{m^2 - h^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}
\]

\[
\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \approx 47.47\degree
\]

Таким образом, угол \(\alpha\), образованный между боковым ребром правильной треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, составляет примерно 47.47 градусов.