1. Представьте треугольник ADE. 1) Сформулируйте теорему синусов для данного треугольника. 2) Найдите значение квадрата

1) Теорема синусов для треугольника ADE гласит:

\[\frac{{AD}}{{\sin\angle D}} = \frac{{DE}}{{\sin\angle A}} = \frac{{AE}}{{\sin\angle DAE}}.\]

2) Для нахождения значения квадрата стороны DE воспользуемся теоремой косинусов:

\[DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos\angle DAE.\]

Теперь приступим к решению задачи:

1) Для нахождения значения квадрата стороны DE в треугольнике ABC, мы должны использовать теорему косинусов.

\[DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos\angle DAE.\]

2.1) Для определения значения sin b, зная sin a, воспользуемся следующей связью для смежных углов:

\[\sin b = \sin (180^\circ - a).\]

Таким образом, если sin a = 0.7, то sin b будет равен sin (180° - 0.7) = sin (179.3°).

2.2) Для определения значения cos a, если известно, что cos b = 0.3, воспользуемся аналогичной связью для смежных углов:

\[\cos a = \cos (180^\circ - b).\]

Таким образом, если cos b = 0.3, то cos a будет равен cos (180° - 0.3) = cos (179.7°).

3) Чтобы вычислить площадь треугольника BCD, зная длины его сторон BC и CD, а также значение sin C, воспользуемся следующей формулой:

\[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin C.\]

Подставляем известные значения и вычисляем площадь треугольника BCD.

4) Чтобы найти скалярное произведение векторов CA, используем формулу:

\[\vec{C A} = \begin{pmatrix} C_x \\ C_y \end{pmatrix}, \vec{A B} = \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \end{pmatrix}.\]

Скалярное произведение векторов определяется как:

\[\vec{C A} \cdot \vec{A B} = C_x \cdot A_x + C_y \cdot A_y.\]

Подставляем известные значения и вычисляем скалярное произведение.