Як можна виразити вектор OD через вектори OA, OB і OC у трапеції ABCD, де AD = 4BC? Будь-ласка, переформулюйте

Завдання полягає у виразі вектора OD через вектори OA, OB і OC у трапеції ABCD, де AD = 4BC. Дозвольте пояснити, як це можна зробити.

Оскільки AD дорівнює 4BC, ми знаємо, що вони пропорційні. Тобто, вектор AD можна виразити як добуток числа 4 і вектору BC.

\[ \overrightarrow{AD} = 4 \cdot \overrightarrow{BC} \]

Далі, розв"яжемо це виразивши вектор BC через вектори OA, OB і OC.

В трапеції ABCD ми можемо замітити, що вектор OC і вектор OD є паралельними, оскільки вони є діагоналями трапеції і з"єднують протилежні кути. Отже, вектор OC і вектор OD мають однакову спрямованість.

Знаючи це, ми можемо виразити вектор OD через вектор OC:

\[ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} \]

Тепер нам необхідно виразити вектор OC через вектори OA і OB.

Ми можемо розбити вектор OC на дві частини: вектор OA та відрізок AC. Закон комутативності векторного додавання дає нам:

\[ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} \]

Аналогічно, вектор AC складається з двох векторів: OB та BC. Використовуючи знову закон комутативності векторного додавання:

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} \]

Підставляючи отримані вирази в попередні рівняння, ми отримуємо:

\[ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}) \]

\[ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} \]

Тепер ми можемо підставити цей вираз в рівняння для вектору OD:

\[ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} \]

Таким чином, вектор OD можна виразити як суму векторів OA, OB і BC.

Важливо зазначити, що цей вираз є результатом використання властивостей векторів і специфічних властивостей трапеції ABCD.