Какой угол образует равнодействующая сил F(1), F(2) и F(3) с указанной осью, если силы приложены в начале координат?

Чтобы найти угол между равнодействующей силы и указанной осью, мы можем использовать метод векторного сложения. Сначала сложим все три вектора, представленные в задаче:

\[
F_{\text{общ}} = F(1) + F(2) + F(3)
\]

Подставим значения векторов:

\[
F_{\text{общ}} = (1\mathbf{i} + 4\mathbf{k}) + (1\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k}) + (4\mathbf{i} - 3\mathbf{j})
\]

Складывая векторы по соответствующим компонентам, получим:

\[
F_{\text{общ}} = (1 + 1 + 4)\mathbf{i} + (-2 - 3)\mathbf{j} + (4 + 1)\mathbf{k}
\]

\[
F_{\text{общ}} = 6\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 5\mathbf{k}
\]

Теперь у нас есть равнодействующая сила \(F_{\text{общ}}\) в виде нового вектора. Чтобы найти угол между этим вектором и указанной осью, мы можем использовать формулу скалярного произведения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}}
\]

где \(\mathbf{a}\) - это вектор \(F_{\text{общ}}\), а \(\mathbf{b}\) - это вектор указанной оси. В нашем случае, чтобы просто найти угол, нам не понадобится знать длину векторов \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\).

Заменим значения векторов:

\[
\cos(\theta) = \frac{{(6\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 5\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i})}}{{|(6\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 5\mathbf{k})| \cdot |\mathbf{i}|}}
\]

Выполняя скалярное произведение и упрощая выражение, получим:

\[
\cos(\theta) = \frac{{6}}{{\sqrt{6^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot 1}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{6}}{{\sqrt{36 + 25 + 25}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{6}}{{\sqrt{86}}}
\]

Теперь, чтобы найти угол \(\theta\), нам нужно найти обратный косинус полученного значения. Применяя обратную функцию косинуса к обеим сторонам уравнения, получим:

\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{{6}}{{\sqrt{86}}}\right)
\]

Подставляя эту формулу в калькулятор, мы получаем приблизительное значение:

\[
\theta \approx 31.2^\circ
\]

Итак, угол между равнодействующей силы (\(F_{\text{общ}}\)) и указанной осью составляет примерно \(31.2^\circ\).