Какой угол нужно найти в кубе ABCDA1B1C1D1, где точки K, L и M делят ребра таким образом, что отношения AK/KA1, D1L/LA1

Чтобы найти требуемый угол в кубе, нам нужно разобраться с отношениями, заданными в задаче. Давайте начнем.

Пусть \( AK = x \), так как отношение \( AK/KA1 = 1/3 \), то \( KA1 = 3x \).

Также, если \( D1L/LA1 = 1/3 \), это означает, что отношение длины отрезка \( D1L \) к отрезку \( LA1 \) также равно \( 1/3 \). Так как \( KA1 = 3x \), мы можем записать \( LA1 = 3x \).

Аналогично, из отношения \( B1M/MA1 = 1/3 \) мы можем получить \( B1M = 3x \).

Теперь, давайте рассмотрим треугольник \( D1LM \). Угол \( D1LM \) находится между сторонами \( D1L \) и \( LM \). Мы знаем, что \( D1L = LA1 \) и \( LM = 2x \) (так как \( DM = 2M1 \)).

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику \( D1LM \). В данном случае:

\[
\cos(D1LM) = \frac{{D1L^2 + LM^2 - D1M^2}}{{2 \cdot D1L \cdot LM}}
\]

Подставляя значения, которые у нас есть, получим:

\[
\cos(D1LM) = \frac{{(3x)^2 + (2x)^2 - (2x)^2}}{{2 \cdot (3x) \cdot (2x)}}
\]

\[
\cos(D1LM) = \frac{{9x^2 + 4x^2 - 4x^2}}{{6x^2}}
\]

\[
\cos(D1LM) = \frac{{9x^2}}{{6x^2}}
\]

\[
\cos(D1LM) = \frac{3}{2}
\]

Теперь нам нужно найти угол \( D1LM \), для этого мы применим обратную функцию косинуса (арккосинус) к полученному значению:

\[
D1LM = \arccos\left(\frac{3}{2}\right)
\]

Так как это угол внутри куба, он будет острый, поэтому ответом на задачу будет:

\[
D1LM = \arccos\left(\frac{3}{2}\right)
\]

Таким образом, чтобы найти требуемый угол в кубе, мы получили \( D1LM = \arccos\left(\frac{3}{2}\right) \).