Какой ток протекает через прямолинейный медный провод диаметром 4мм, находящийся на расстоянии 8мм от его оси, если

Для решения этой задачи мы будем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который говорит о том, что магнитное поле, создаваемое элементом проводника, пропорционально его току и обратно пропорционально расстоянию до исследуемой точки. Формула для расчета магнитного поля создаваемого элементом проводника выглядит следующим образом:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{4\pi \cdot |\vec{r}|^3}}\]

где:
- \(d\vec{B}\) - магнитное поле, создаваемое элементом проводника,
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(4\pi \times 10^{-7} \, Тл/А \cdot м\)),
- \(I\) - ток, текущий через элемент проводника,
- \(d\vec{l}\) - элемент длины проводника,
- \(\vec{r}\) - радиус-вектор, указывающий на исследуемую точку.

Мы можем перейти к интегралу по всей длине проводника и интегрировать по его поперечному сечению для получения общего магнитного поля.

Теперь приступим к решению задачи.

1. Найдем магнитное поле на оси проводника, находящегося на расстоянии 8 мм.

Так как проводник прямолинейный, его поле будет симметричным относительно оси. Поэтому можно ограничиться только рассмотрением части от -8 мм до 8 мм.

Для удобства расчетов рассмотрим кольцевой элемент длины \(dL\), находящийся на расстоянии \(r\) от оси проводника.

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dL}}{{4\pi \cdot r^2}}\]

Интегритуем соответствующее выражение по длине проводника от -8 мм до 8 мм.

\[B = \int_{-8мм}^{8мм} \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot dL}}{{4\pi \cdot r^2}}\]

Здесь \(I\) - ток, протекающий через проводник, и мы считаем его постоянным по всей длине проводника.

Обратимся теперь к поперечному сечению проводника:

\[A = \pi \cdot r^2\]

Вместо интеграла по длине проводника, мы будем интегрировать по поперечному сечению:

\[B = \int_{A} \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi \cdot r^2}}\]

Учитывая только зависимость от радиуса, можем записать:

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \cdot \int_{A} \frac{1}{{r^2}}\]

Так как мы исследуем точку на оси проводника, то расстояние от точки до центра поперечного сечения проводника всегда будет одним и тем же и совпадать с \(r\). Так что:

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \cdot \int_{A} \frac{1}{{r^2}} = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \cdot \frac{1}{{r^2}} \cdot \int_{A} dr^2 = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \cdot \frac{1}{{r^2}} \cdot \pi \cdot r^2\]

И, упрощая выражение, получаем:

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}}\]

Теперь, зная \(I = 1 A\) и значение магнитной постоянной \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} Тл/А \cdot м\), мы можем найти значение магнитного поля \(B\):

\[B = \frac{{(4\pi \times 10^{-7} Тл/А \cdot м) \cdot 1 A}}{{4\pi}} = 10^{-7} Тл\]

Таким образом, магнитная индукция на оси проводника составляет \(10^{-7} Тл\).

2. Теперь найдем магнитную индукцию на поверхности проводника.

На поверхности проводника, магнитное поле будет максимальным, так как расстояние от поверхности до исследуемой точки (\(r\)) будет наименьшим. Поэтому мы можем использовать ту же формулу для расчета магнитного поля, но с \(r = 4мм\):

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} = \frac{{(4\pi \times 10^{-7} Тл/А \cdot м) \cdot 1 A}}{{4\pi}} = 10^{-7} Тл\]

Следовательно, магнитная индукция на поверхности проводника также составляет \(10^{-7} Тл\).

Таким образом, ток, протекающий через прямолинейный медный провод диаметром 4мм, находящийся на расстоянии 8мм от его оси, составляет 1A. Магнитная индукция на оси проводника и на его поверхности также составляет \(10^{-7} Тл\).