Какой радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике, если точка касания делит боковую сторону в отношении

Для решения данной задачи будем использовать следующие обозначения: пусть основание равнобедренного треугольника равно \(2a\), а высота, проведенная из его вершины к основанию, равна \(h\). Также будем обозначать точку касания вписанной окружности с боковой стороной как \(D\).

Заметим, что отрезок \(AD\) делит боковую сторону треугольника на две части, в отношении 25:12. Так как боковая сторона равна \(2a\), то можно записать:

\[\frac{AD}{DB} = \frac{25}{12}.\]

Так как треугольник равнобедренный, из подобия треугольников \(ABD\) и \(ACD\) можно получить следующие равенства:

\[\frac{AD}{DB} = \frac{h}{a}, \quad \frac{AC}{DC} = \frac{h}{a}.\]

Так как \(AC = BC = a\), то значит \(DC = a - AD\). Подставим данное значение во второе равенство и решим его относительно \(h\):

\[\frac{h}{a - AD} = \frac{h}{a}.\]

Перемножим крест-накрест и приведем полученное выражение к виду квадратного уравнения:

\[ha = ha - hAD \Rightarrow hAD = 0 \Rightarrow AD = 0.\]

Так как отрезок \(AD\) не может быть равен 0 (имеет физический смысл), значит мы получили противоречие. Отсюда следует, что задача некорректна и в равнобедренном треугольнике с заданными условиями не существует вписанной окружности.

Альтернативный способ решения: можно воспользоваться известной формулой для радиуса вписанной окружности:

\[r = \sqrt{\frac{(p - a)^2}{p}},\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\) - длина основания треугольника.

Так как у нас задана площадь треугольника, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади через основание и высоту:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.\]

Подставим данное значение площади в формулу выше и решим ее относительно \(h\):

\[2S = a \cdot h \Rightarrow h = \frac{2S}{a}.\]

Теперь можем выразить полупериметр \(p\):

\[p = \frac{a + a + 2h}{2} = \frac{2a + 2 \cdot \frac{2S}{a}}{2} = a + \frac{2S}{a}.\]

Подставим полученные значения \(p\) и \(a\) в формулу для радиуса вписанной окружности:

\[r = \sqrt{\frac{(a + \frac{2S}{a} - a)^2}{a + \frac{2S}{a}}} = \sqrt{\frac{(\frac{2S}{a})^2}{a + \frac{2S}{a}}}.\]

Раскроем скобки:

\[r = \sqrt{\frac{4S^2}{a^2 + 2S}}.\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\sqrt{\frac{4S^2}{a^2 + 2S}}\).

Однако, при подстановке значений из условия задачи мы получаем \(a = 0\) в знаменателе, что делает формулу некорректной. Следовательно, задача некорректна и в равнобедренном треугольнике с заданными условиями не существует вписанной окружности.