Какой радиус вписанной окружности, площадь и периметр данного четырехугольника, описанного около правильного

Для начала рассмотрим правильный четырехугольник, описанный около данного четырехугольника. Правильный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все стороны и углы равны.

У нас имеется следующая информация: радиус описанной около данного четырехугольника окружности. Давайте обозначим его буквой R.

Выберем произвольную сторону данного правильного четырехугольника и обозначим ее буквой a. Заметим, что эта сторона является радиусом описанной окружности.

Так как данное четырехугольник правильный, то все его стороны равны между собой. Поэтому все четыре стороны равны a.

Теперь рассмотрим вписанную окружность данного четырехугольника - это окружность, которая касается всех его сторон.

Для нахождения радиуса вписанной окружности нам понадобится формула площади треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - a) \cdot (p - a)}\]

где S - площадь треугольника, а - длина одной из сторон, а p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника можно найти по формуле:

\[p = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\]

Подставляя значение полупериметра в формулу площади треугольника, получаем:

\[S = \sqrt{\frac{{3a}}{2} \cdot \frac{{3a}}{2} \cdot \frac{{3a}}{2} \cdot \frac{{3a}}{2}}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[S = \sqrt{\frac{{81a^4}}{16}} = \frac{{9a^2}}{4}\]

Теперь у нас есть формула для нахождения площади треугольника в зависимости от длины его стороны a.

Так как каждая сторона четырехугольника равна a, то его площадь будет равна 4S:

\[S_{\text{четырехугольника}} = 4 \cdot \frac{{9a^2}}{4} = 9a^2\]

Теперь перейдем к нахождению периметра данного четырехугольника.

Периметр четырехугольника можно найти, сложив длины всех его сторон:

\[P_{\text{четырехугольника}} = a + a + a + a = 4a\]

Итак, мы нашли радиус вписанной окружности (a), площадь четырехугольника (9a^2) и его периметр (4a).