Какой радиус планеты, если на её экваторе вес тела на 20% меньше, чем на полюсе? Учитывайте, что масса планеты

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон тяготения и понять, как зависит гравитационная сила от расстояния от центра планеты. Затем мы сможем использовать данную информацию, чтобы определить радиус планеты.

Пусть \(m\) - масса предмета, находящегося на поверхности планеты, \(r\) - радиус планеты, \(g_e\) - ускорение свободного падения на экваторе, и \(g_p\) - ускорение свободного падения на полюсе.

Мы знаем, что гравитационная сила \(F\) между предметом массой \(m\) и планетой массой \(M\) равна:

\[F = \dfrac{{G \cdot m \cdot M}}{{r^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения на экваторе можно выразить как:

\[g_e = \dfrac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

Ускорение свободного падения на полюсе можно выразить как:

\[g_p = \dfrac{{G \cdot M}}{{(r + h)^2}}\]

где \(h\) - высота полюса над поверхностью планеты. Для большинства планет данная высота не существенна и может быть принята за 0.

Известно, что вес падающего тела пропорционален ускорению свободного падения. Таким образом, мы можем установить следующее отношение:

\[\dfrac{{g_e}}{{g_p}} = \dfrac{{m_e}}{{m_p}}\]

где \(m_e\) - вес тела на экваторе и \(m_p\) - вес тела на полюсе.

Учитывая, что на экваторе вес тела на 20% меньше, чем на полюсе, мы можем записать:

\[\dfrac{{g_e}}{{g_p}} = \dfrac{{0.8m_p}}{{m_p}} = 0.8\]

Теперь мы можем приравнять выражения для \(g_e\) и \(g_p\), чтобы найти радиус \(r\):

\[\dfrac{{G \cdot M}}{{r^2}} = 0.8 \cdot \dfrac{{G \cdot M}}{{(r + h)^2}}\]

Cокращаем гравитационную постоянную \(G\) и массу планеты \(M\):

\[\dfrac{1}{{r^2}} = 0.8 \cdot \dfrac{1}{{(r + h)^2}}\]

Умножаем обе части уравнения на \((r + h)^2\) и раскрываем скобки:

\[(r + h)^2 = 0.8 \cdot r^2\]

\[r^2 + 2rh + h^2 = 0.8 \cdot r^2\]

Вычитаем \(0.8 \cdot r^2\) из обеих частей уравнения:

\[0.2 \cdot r^2 + 2rh + h^2 = 0\]

Так как это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения решения. Дискриминант \(D\) равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 0.2\), \(b = 2h\) и \(c = h^2\). Подставляем значения:

\[D = (2h)^2 - 4 \cdot 0.2 \cdot h^2\]
\[D = 4h^2 - 0.8h^2\]
\[D = 3.2h^2\]

Определитель \(D\) должен быть равен или больше нуля, чтобы иметь реальные решения. Таким образом:

\[3.2h^2 \geq 0\]

Поскольку \(h\) - положительное число, \(h^2\) также положительно, поэтому неравенство всегда выполняется. Или можно сказать, что определитель D всегда больше или равен нулю.

Теперь мы можем приступить к решению уравнения. Мы знаем, что определитель \(D\) равен нулю, поэтому:

\[3.2h^2 = 0\]

Но так как \(h\) положительное число, это невозможно. Таким образом, мы приходим к выводу, что уравнение не имеет реальных решений.

В заключение, задача, как сформулирована, не имеет решения. Возможно, в ней допущена ошибка, или нам потребуется дополнительная информация, чтобы найти радиус планеты.