Какой промежуток является решением неравенства -х²-2х+3≥0​?

Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения \(x\), при которых данное выражение \(-x^2 - 2x + 3\) больше или равно нулю. Для этого давайте последовательно выполним следующие шаги:

1. Найдем корни квадратного уравнения \(-x^2 - 2x + 3 = 0\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = -1\), \(b = -2\) и \(c = 3\).

Вычислим значение дискриминанта:
\[D = (-2)^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16\]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня.

Решим квадратное уравнение, используя формулу Квадратного корня:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставим значения в формулу:
\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(-1)} = \frac{2 \pm 4}{-2} = -3, 1\]

Итак, у нас два корня: \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 1\). Следовательно, неравенство может менять свое значение только в точках -3 и 1.

2. Теперь мы знаем, что неравенство \(-x^2 - 2x + 3 \geq 0\) может быть равным нулю в точках -3 и 1. Мы должны определить, как знак меняется в этих точках. Для этого рассмотрим знак выражения \(-x^2 - 2x + 3\) в интервалах, образованных этими точками.

а) Возьмем произвольное число из первого интервала \((- \infty, -3)\), например, \(x = -4\). Подставляем его в исходное неравенство и выполняем вычисления:

\[(-4)^2 - 2(-4) + 3 = 16 + 8 + 3 = 27\]

Значение получилось положительным. Значит, в интервале \((- \infty, -3)\) выражение \(-x^2 - 2x + 3\) больше нуля.

б) Возьмем произвольное число из второго интервала \((-3, 1)\), например, \(x = 0\). Подставляем его в исходное неравенство и выполняем вычисления:

\[0^2 - 2(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3\]

Значение получилось положительным. Значит, в интервале \((-3, 1)\) выражение \(-x^2 - 2x + 3\) больше нуля.

в) Возьмем произвольное число из третьего интервала \((1, +\infty)\), например, \(x = 2\). Подставляем его в исходное неравенство и выполняем вычисления:

\[2^2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3\]

Значение получилось положительным. Значит, в интервале \((1, +\infty)\) выражение \(-x^2 - 2x + 3\) больше нуля.

3. Итак, наше исходное неравенство \(-x^2 - 2x + 3 \geq 0\) выполняется в трех интервалах: \((- \infty, -3)\), \((-3, 1)\) и \((1, +\infty)\). Это означает, что все значения \(x\) вне этих интервалов будут решениями неравенства.

Таким образом, промежутки, являющиеся решением данного неравенства, можно записать в виде:
\[x \in (- \infty, -3] \cup (-3, 1] \cup (1, +\infty)\]