Какова длина AH в треугольнике ABC, где угол C равен 90°, CH - высота, AB = 45 и sin A = 1/3?

Чтобы определить длину стороны AH треугольника ABC, нам понадобятся знания о базовых тригонометрических соотношениях и теореме Пифагора.

Для начала, давайте определим, что у нас уже есть. Угол C равен 90°, что означает, что треугольник ABC - прямоугольный. Нам также дано, что AB = 45 и sin A = 1/3.

Первым шагом мы можем использовать определение синуса для определения значения стороны BC. Вспомним, что синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, sin A = BC/AB. Подставляя известные значения, получаем следующее:

\( BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15 \)

Теперь у нас есть две стороны треугольника: AB = 45 и BC = 15.

Далее мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в нашем случае BC) равен сумме квадратов катетов. Применяя это к нашему треугольнику ABC, мы получим:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ AC^2 = 45^2 + 15^2 \]

\[ AC^2 = 2025 + 225 \]

\[ AC^2 = 2250 \]

Теперь найдем длину стороны AC, извлекая квадратный корень:

\[ AC = \sqrt{2250} = 15\sqrt{10} \]

Таким образом, длина стороны AC равна \( 15\sqrt{10} \).

Наконец, чтобы вычислить длину стороны AH, мы можем использовать определение высоты треугольника. Высота треугольника - это отрезок, перпендикулярный основанию и проходящий через вершину треугольника.

Так как CH - высота, мы можем видеть, что треугольники CHA и CHB являются подобными. Поэтому мы можем использовать отношение высоты к основанию, чтобы найти длину AH:

\[ \frac{AH}{AC} = \frac{CH}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AH}{15\sqrt{10}} = \frac{CH}{15} \]

Теперь, чтобы найти длину AH, перемножим оба выражения:

\[ AH = \frac{CH \cdot 15\sqrt{10}}{15} \]

\[ AH = CH \cdot \sqrt{10} \]

Таким образом, длина стороны AH равна \( CH \cdot \sqrt{10} \).

Однако, у нас нет информации о длине CH, поэтому мы не можем дать конкретное числовое значение для стороны AH. Но мы можем сказать, что длина AH равна произведению длины CH на \(\sqrt{10}\). Мы могли бы выразить CH в терминах других сторон треугольника, но в условии задачи отсутствуют достаточные данные для этого.