Какой остаток дает многочлен p(x) при делении на x-2, если при делении на x-1 он даёт остаток 1, а при делении

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить метод деления многочленов. Дано, что многочлен p(x) при делении на (x-1)(x-2)(x-3) даёт многочлен с равными коэффициентами. Это означает, что многочлен p(x) можно представить в виде:

\[p(x) = (x-1)(x-2)(x-3) \cdot q(x) + k, \quad \text{где} \quad k \ \text{- константа}\]

Также известно, что при делении многочлена p(x) на x-1 остаток равен 1:

\[p(x) = (x-1) \cdot q_1(x) + 1\]

И нам нужно найти остаток от деления многочлена p(x) на x-2. Для этого, мы можем подставить x=2 в уравнение и найти значение многочлена. Если значение равно остатку, то это будет наш ответ.

Подставим x=2 в уравнение p(x) = (x-1) \cdot q_1(x) + 1:

\[p(2) = (2-1) \cdot q_1(2) + 1\]
\[p(2) = q_1(2) + 1\]

Теперь мы знаем, что \(p(2) = q_1(2) + 1\). Но у нас также есть уравнение \(p(x) = (x-1)(x-2)(x-3) \cdot q(x) + k\) с равными коэффициентами. Это значит, что если мы подставим x=2 в это уравнение, мы получим \(p(2)\), где мы хотим найти остаток.

Подставим x=2 в заданное уравнение:

\[p(2) = (2-1)(2-2)(2-3) \cdot q(2) + k\]
\[p(2) = 0 \cdot q(2) + k \]
\[p(2) = k\]

Таким образом, мы нашли, что \(p(2) = k\), где k - константа. Теперь, мы знаем, что \(p(2) = q_1(2) + 1\). Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[k = q_1(2) + 1\]

Используя это уравнение, мы можем найти значение k. Подставим x=2:

\[k = q_1(2) + 1\]
\[k = q_1(2) + 1\]

Теперь мы можем сделать вывод: остаток, который дает многочлен p(x) при делении на (x-2), равен k. Но мы также знаем, что \(k = q_1(2) + 1\). Таким образом, чтобы найти конкретное значение остатка, нам нужно знать значение \(q_1(2)\), то есть остаток от деления многочлена p(x) на x-1 при x=2.

К сожалению, мы не имеем здесь никаких информации, чтобы продолжить вычисления и найти конкретное значение остатка. Но мы можем сделать вывод, что остаток, который дает многочлен p(x) при делении на x-2, зависит от значения \(q_1(2)\) и равен k.