Какой объем работы требуется для перемещения заряда q на бесконечность, если он находится на оси тонкого кольца

Чтобы найти объем работы, требуемый для перемещения заряда \(q\) на бесконечность, на оси тонкого кольца радиусом \(R\), на котором равномерно распределен заряд, нам потребуется применить следующие шаги:

1. Сначала рассмотрим элементарный кусочек заряда \(dq\) на поверхности кольца. Этот кусочек находится на удалении \(r\) от центра кольца. Заряд \(dq\) можно выразить через плотность заряда \(\lambda\), используя следующее соотношение: \(dq = \lambda \, dl\), где \(dl\) - элементарный участок длины на окружности кольца.

2. Для перемещения элементарного кусочка заряда \(dq\) на бесконечность, нам потребуется совершить работу. Работу, совершаемую при перемещении заряда вдоль элементарного участка \(dl\), можно выразить через напряжение \(dV\) между зарядом \(q\) и элементарным кусочком заряда \(dq\). Работу можно записать как \(dW = dV \cdot dq\).

3. Найдем напряжение \(dV\) на элементарном участке \(dl\). Напряжение в данном случае является потенциалом, создаваемым элементарным кусочком заряда \(dq\) на оси кольца. Напряжение можно выразить через разность потенциалов между зарядом \(q\) и элементарным кусочком заряда \(dq\) следующим образом: \(dV = \frac{k \, dq}{r}\), где \(k\) - постоянная Кулона, равная \(9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\).

4. Подставим найденное значение \(dV\) в формулу работы \(dW = dV \cdot dq\). Получим \(dW = \frac{k \, dq^2}{r}\).

5. Теперь проинтегрируем найденное выражение для работы \(dW\) по всей поверхности кольца, чтобы получить полный объем работы \(W\) для перемещения заряда \(q\) на бесконечность:

\[
W = \int dW = \int \frac{k \, dq^2}{r}
\]

6. Поскольку на кольце равномерно распределен заряд, то его линейная плотность заряда \(\lambda\) будет равна \(\frac{q}{2 \pi R}\), где \(R\) - радиус кольца. Выразим заряд \(dq\) через \(\lambda\): \(dq = \lambda \, dl\).

7. Заменим пределы интегрирования. Так как заряд находится на бесконечности, то перемещать его нужно с бесконечности. Поэтому интегрирование будет вестись от \(q = 0\) до \(q = Q\), где \(Q\) - полный заряд на кольце.

Получившийся интеграл будет иметь вид:

\[
W = \int \frac{k (\lambda \, dl)^2}{r}
\]

8. Заменим выражение для \(\lambda\) и вынесем значения, зависящие от \(r\) и \(R\) из-под интеграла:

\[
W = \frac{k}{4 \pi^2 R^2} \int_0^{2 \pi R} \frac{(q \, dl)^2}{r}
\]

9. После интегрирования получим ответ:

\[
W = \frac{k q^2}{4 \pi \epsilon R}
\]

где \(\epsilon = \frac{1}{4 \pi k}\) - электрическая постоянная.

Таким образом, объем работы, необходимый для перемещения заряда \(q\) на бесконечность, на оси тонкого кольца радиусом \(R\), на котором равномерно распределен заряд, равен \(\frac{k q^2}{4 \pi \epsilon R}\).