Какой объем имеет усеченный конус с образующей 13 см, диагональю осевого сечения 15 см и площадью боковой поверхности

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

Формула для объема конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Формула для площади боковой поверхности конуса:
\[S = \pi r l\]

Здесь \(V\) - объем конуса, \(S\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота конуса, \(l\) - длина окружности осевого сечения.

В данной задаче известны значения \(l = 15 \, \text{см}\) и \(S = 117\pi \, \text{см}^2\). Мы должны найти объем конуса.

Давайте пошагово решим эту задачу:

1. Найдем радиус основания конуса.
Из формулы \(S = \pi r l\) можем найти радиус:
\[\pi r \cdot l = 117\pi \, \text{см}^2\]
\[r \cdot l = 117 \, \text{см}^2\]
\[r = \frac{117 \, \text{см}^2}{l}\]
\[r = \frac{117 \, \text{см}^2}{15 \, \text{см}}\]
\[r \approx 7.8 \, \text{см}\]

2. Найдем высоту конуса.
Из задачи известно, что образующая конуса равна 13 см. Образующая конуса связана с радиусом и высотой следующим образом:
\[h^2 = l^2 - r^2\]
\[h^2 = 13^2 - 7.8^2\]
\[h^2 \approx 169 - 60.84\]
\[h^2 \approx 108.16\]
\[h \approx \sqrt{108.16}\]
\[h \approx 10.4 \, \text{см}\]

3. Найдем объем конуса.
Используем формулу объема конуса \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\):
\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot (7.8 \, \text{см})^2 \cdot 10.4 \, \text{см}\]
\[V \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 60.84 \, \text{см}^2 \cdot 10.4 \, \text{см}\]
\[V \approx \frac{1}{3} \pi \cdot 633.216 \, \text{см}^3\]
\[V \approx 210.8 \, \text{см}^3\]

Ответ: Усеченный конус имеет объем около 210.8 см³.