Какой объем имеет пирамида, если все ее боковые ребра равны 2√7, а в основании находится равнобедренный треугольник

Чтобы найти объем пирамиды, нам необходимо знать ее высоту и площадь основания.

Начнем с площади основания пирамиды. У нас есть равнобедренный треугольник с боковой стороной длиной 4 и углом при основании 30 градусов. Вспомним формулу для площади равнобедренного треугольника: \(S = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина боковой стороны.

Подставим известные значения: \(a = 4\). Подсчитаем площадь:
\[S = \frac{{4^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} = \frac{{16 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 4\sqrt{3}\]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Вспомним, что равнобедренный треугольник также может быть разделен на два прямоугольных треугольника. В данном случае, один из этих треугольников будет иметь угол при основании равный 30 градусам, а второй угол будет составлять 60 градусов и его гипотенуза будет равна 4. Чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится высота прямоугольного треугольника с углом в 30 градусов. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти эту высоту.

Высота прямоугольного треугольника можно найти при помощи формулы \(\text{высота} = \text{сторона} \times \sin(\text{угол})\). В нашем случае, сторона равна 4, а угол — 30 градусов. Подставим значения в формулу:
\(\text{высота} = 4 \times \sin(30^\circ)\)

Здесь нам понадобится использовать таблицу значений синуса. Значение синуса для 30 градусов равно \(0.5\). Подставим это значение в формулу:
\(\text{высота} = 4 \times 0.5 = 2\)

Теперь у нас есть площадь основания (\(S = 4\sqrt{3}\)) и высота пирамиды (\(h = 2\)). Формула для нахождения объема пирамиды выглядит так: \(V = \frac{1}{3} \times S \times h\).

Подставим известные значения:
\[V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times 2 = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Итак, объем данной пирамиды равен \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\).